Bu soru, x-3 > 7 eşitsizliği ile ilgilidir. Eşitsizliği çözmek adım adım ilerleyelim:
Eşitsizliği Çözme
Verilen eşitsizlik:
- Her iki tarafa 3 ekleme (dengeyi sağlamak için):
Çözüm Seti
Bu, x değerlerinin 10’dan büyük olduğu anlamına gelir. Yani çözüm aralığı:
Doğru Şık
Eşitsizliğin grafiksel çözümünü şıklarda yer alan düz çizgiler temsil ediyor:
- A şıkkı: x değerleri \leq 0 olduğu hatalıdır.
- B şıkkı: x değerleri \geq 0 olduğu ve doğruyu temsil etmez.
- C şıkkı: 10’dan büyük olan tüm değerler için doğru yanıtı işaret eder.
- D şıkkı: x değerleri <10 için hata içerir.
Sonuç: Doğru Şık C’dir.
Özet Tablo
| Adım | Sonuç |
|---|---|
| Başlangıç Eşitsizlik | x - 3 > 7 |
| Her iki tarafa 3 ekle | x > 10 |
| Çözüm Aralığı | (10, \infty) |
| Doğru Şık | C |
Eğer başka bir sorunuz varsa yardımcı olmaktan mutluluk duyarım! 
@Egemenerdem_Akbulut
x - 3 > 7 eşitsizliğinin çözümü nedir?
Answer:
Table of Contents
- Eşitsizlik Kavramı
- Adım Adım Çözüm
- Çözüm Kümesi
- Örnek Doğru/Yanlış Gösterimi
- Özet Tablo
- Sonuç ve Özet
1. Eşitsizlik Kavramı
Birinci dereceden bir eşitsizlik, alışılagelmiş lineer (doğrusal) denklem yöntemleriyle çözülür. Eşitsizlik işareti (>, <, ≥, ≤) yön değiştirmediği sürece cebirsel adımlar, denklem çözümüne benzer.
2. Adım Adım Çözüm
Verilen eşitsizlik:
Adım 1: Taraflara 3 ekleme
Eşitsizliğin her iki yanına 3 ekleriz (veya -3’ü diğer tarafa taşırız). Bu adımda eşitsizlik yön değiştirmez (çünkü pozitif veya negatif bir sayıyla toplamada eşitsizlik yön değiştirmez):
3. Çözüm Kümesi
x > 10 ifadesinin çözüm kümesi, sayı doğrusunda 10’un sağ tarafında kalan tüm reel sayıları içerir. Bu, matematiksel olarak
şeklinde gösterilir.
4. Örnek Doğru/Yanlış Gösterimi
- Eğer seçeneklerde açık daire (boş daire) 10’un üzerinde olup sağa doğru (pozitif sonsuza) uzuyorsa, o doğru gösterimdir.
- 10 dâhil olmadığı için üzerinde kapalı (dolu) daire yanlış olur.
- 10’un solundaki aralığı gösteren çizim de yanlış olur.
5. Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Eşitsizliği Yazma | x - 3 > 7 | - |
| 2. 3 Ekleme | x - 3 + 3 > 7 + 3 | x > 10 |
| 3. Çözüm Kümesi | x > 10 | (10, +∞) |
| 4. Doğru Gösterim | Açık daire 10’da, sağa doğru | Doğru şık seçilir. |
6. Sonuç ve Özet
- Eşitsizlik: x - 3 > 7
- Çözüm: x > 10
- Çözüm kümesi: (10, +∞)
- Sayı doğrusunda, 10’un üzerinde açık bir daire ve sağa doğru okla temsil edilir.
x - 3 > 7 eşitsizliğinin çözümü nedir ve hangi sayı doğrusunu temsil eder?
Cevap:
İçindekiler
- Eşitsizlik Kavramına Giriş
- Temel Terimler
- Adım Adım Çözüm
- Sayı Doğrusunda Gösterim
- Seçeneklerin İncelenmesi
- Örnek Uygulamalar
- Sık Yapılan Hatalar
- Konuya İlişkin Özet Tablo
- Sonuç ve Kapsayıcı Değerlendirme
1. Eşitsizlik Kavramına Giriş
Eşitsizlikler, matematiğin çok önemli bir dalını temsil eder. Bir denklemden farkı, “=” yerine “>”, “≥”, “<” veya “≤” sembollerini içermesidir. Bu semboller, iki ifadenin veya sayının birbiriyle kıyaslanmasını sağlar. Örneğin “x > 10” ifadesi, “x 10’dan büyüktür” anlamına gelir ve x değişkeninin 10’dan daha büyük tüm değerleri kabul ettiğini gösterir.
Günlük hayatta da eşitsizliklere sıkça rastlanır. Örneğin, “Bir mahsulün kilosu 5 liradan pahalı olmamalı” gibi gerçek yaşam ifadelerini de matematiksel olarak eşitsizliklerle modelliyoruz.
Bu sorumuzda ise “x - 3 > 7” eşitsizliğinin çözüm kümesini bulacak ve sayı doğrusunda nasıl gösterileceğini göreceğiz.
2. Temel Terimler
Eşitsizliklerin çözümünü daha rahat anlamak için bazı temel terimlere göz atalım:
- Eşitsizlik (Inequality): İki ifadenin büyüklüklerinin ya da küçüklüklerinin kıyaslandığı matematiksel ifade.
- Çözüm Kümesi (Solution Set): Eşitsizliği sağlayan tüm değerlerin oluşturduğu kümedir.
- Sayı Doğrusu (Number Line): Üzerinde gerçek sayıları belirli bir ölçekle gösterdiğimiz, soldan sağa doğru artan doğrusal gösterim.
- Açık Aralık (Open Interval): x > a veya x < a gibi ifadelere karşılık gelen, (a, ∞) ya da (−∞, a) şeklinde matematiksel gösterimi olan aralıklar. Bu aralıklar, a değerini kapsamaz.
x - 3 > 7 eşitsizliğinde de benzer prensipleri göreceğiz. Burada “>” işareti bize çözüm kümesindeki sayının eşitlik olmadan, “tam olarak” 7 değerine değil, ondan daha büyük bir değere sahip olması gerektiğini anlatır.
3. Adım Adım Çözüm
3.1. Eşitsizliği İnceleme
Verilen eşitsizlik:
Bu, x değişkeninin değeri ile ilgili bilgi verir. x’in belirli bir değerden büyük veya küçük (veya eşit) olmasını ifade eder. Burada “> 7” kısmında, “-3” ifadesi x’ten çıkarılmış haldedir. Amaç, x’i tek başına bırakıp hangi aralıkta olduğunu anlamaktır.
3.2. Denklemin Her İki Tarafına Toplama İşlemi
Eşitsizlik çözerken, eşitlik çözer gibi işlem yapabiliriz. Ancak akılda tutulması gereken önemli bir kural vardır:
- Eşitsizliğin her iki tarafına veya her iki tarafından aynı sayıyı çıkarmak çözümü etkilemez.
- Eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayıya bölmek veya aynı pozitif sayı ile çarpmak da çözümü aynı biçimde korur.
- Fakat, eğer eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıya böler veya çarparsak eşitsizlik yönü değişir.
Bu soruda biz sadece toplama veya çıkarma yapacağız ki bu, eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
Her iki tarafa 3 ekliyoruz:
Böylece:
3.3. Çözüm Aralığı Elde Etme
Sonuçta elde ettiğimiz eşitsizlik:
Bu demek oluyor ki, 10’dan büyük dilediğiniz her gerçek sayı, orijinal eşitsizliği doğrular. x = 10 bu çözüm kümesine dahil değildir, çünkü eşitsizlik “>” (büyük) şeklindedir, “≥” (büyük eşit) değildir. Dolayısıyla 10 tam olarak bu kümeye dahil olmayıp, 10’un üzerindeki tüm sayılar çözüm kümesinde yer alır.
4. Sayı Doğrusunda Gösterim
x > 10 koşulu, sayı doğrusunda 10 değerinin sağ tarafında (yani 10’dan büyük) yer alan tüm noktaları kapsar. Sayı doğrusunda bunu açık bir daire (içi boş daire) veya “açık yuvarlak” ile 10’un üzerinde gösterir, ok işaretini de sağ tarafa doğru çizeriz (sonsuzluğa uzatarak).
Eğer “x ≥ 10” olsaydı, [10, ∞) aralığı olurdu ve 10’un üzerinde dolu bir daire (kapalı nokta) kullanmamız gerekirdi. Ancak “>” işaretinde, 10 noktasını açık bırakarak, sadece 10’dan büyük olan değerleri gösteririz.
5. Seçeneklerin İncelenmesi
Soru görselinde dört farklı sayı doğrusu şeması var. Genellikle bu tarz sorularda
- Açık daire (boş halka): “>” veya “<” işaretleri kullanıldığında, ilgili sınır değerinin dahil olmadığını belirtir.
- Kapalı daire (dolu halka): “≥” veya “≤” işaretleri kullanıldığında, ilgili sınır değerin dahil edildiğini belirtir.
Bu soruya göre:
- Sınır noktamız = 10
- Eşitsizlik: x > 10
- Gösterim: 10 üzerinde “açık daire” ve sağ tarafa ok.
Dolayısıyla doğru cevap, sayı doğrusunda 10 noktasında içi boş (açık) bir halka bulunan ve sağ tarafa (sonsuzluğa) doğru yönelen çizgidir.
Soruda:
A) Soldan sağa bir çizgi, 0 noktasında daire.
B) Yine 0 vurgusu.
C) 0 noktasında boş daire (?), 0 noktasında dolu daire (?) gibi farklı şekiller olabilir.
D) Hangisi 10’a karşılık geliyor ve hangisinde açık ya da dolu daire var… Soruda “0” yazılmış ancak büyük ihtimalle gösterimdeki “0” refere edilen sayısal değer 10 (yani resimde 0 olarak notlandırılmış döngüsel bir formatta olabilir). Sorunun orijinalinde “0” değil, “10” veya “a” gibi bir gösterim de olabilirdi.
Genellikle resimlerde, eğer “0” yerine orada “10” yazmalıysa ama basit bir illüstrasyon sunulmuş olabilir. Bizim buradaki kritik noktamız, hangi seçeneğin “sınır noktası açık daire, sağ tarafa ok” şeklinde olduğunu anlamaktır. Örnek bir tablo:
- A) 0 noktasında açık daire, ok sağa doğru
- B) 0 noktasında dolu daire, ok sağa doğru
- C) 0 noktasında açık daire, ok sola doğru
- D) 0 noktasında dolu daire, ok sola doğru
Muhtemelen sorudaki doğru cevap, “10” baz alınarak açık daire ve sağ tarafa giden ok. Bu da şekil olarak en yaygın, A seçeneği veya B seçeneği olabilir. Fakat A mı B mi olduğuna dikkat etmeliyiz:
- x > 10 için nokta açık olmalı ve ok sağa gitmeli. Bazı ders kitaplarında “boş daire” ile “ > ” ifadesi pekiştirilir. “Dolgun daire” ise “≥” ifadesi içindir. Dolayısıyla,
- A) …( )-----> gibi ise bu “>”
- B) …[•]-----> gibi ise bu “≥”
Resimde net olarak görebildiğimiz kadarıyla, eğer A’daki daire boş ise ve ok sağa doğruysa, o doğru cevaptır.
Bu nedenle, “x > 10” eşitsizliğinin sayfa üzerindeki gösterimi, “sınırda açık daire, sağa doğru ok” seçeneğidir. Sorudaki görselde bu şekilde büyük ihtimalle “A” veya “C” gibi bir seçenekte olabilir. Nitekim bu sorunun belli bir test kitabından olması muhtemel; orada da tipik olarak x > a “A” şıkkı, x ≥ a “B” şıkkı vs. gibi bir sıralama da olabilir.
6. Örnek Uygulamalar
x > 10 sorusunu tamamlamak için ek bazı örnek kontroller yaparak bilgimizi pekiştirelim.
6.1. Tam Sayı Değerleriyle Kontrol
- x = 11 verelim:
$$ 11 - 3 = 8,$$
$$ 8 > 7,$$
evet doğru. - x = 10 verelim:
$$ 10 - 3 = 7,$$
$$ 7 > 7 \quad \text{(yanlış, çünkü 7 eşit 7’ye, büyük değil)}$$
bu nedenle x = 10, çözüm kümesinde değil. - x = 12 verelim:
$$ 12 - 3 = 9,$$
$$ 9 > 7,$$
evet doğru.
6.2. Onluk Değerlerle Kontrol
- x = 10.5 verelim:
$$10.5 - 3 = 7.5,$$
$$7.5 > 7,$$
bu doğru, dolayısıyla 10.5 çözüm kümesine dahildir. - x = 15.25 verelim:
$$15.25 - 3 = 12.25,$$
$$12.25 > 7,$$
yine doğru.
6.3. Gerçek Hayattan Örnekler
Gerçek hayatta “x > 10” gibi bir eşitsizliğe örnek vermek istersek, örneğin bir konser bileti 10 yaşından büyüklere/10 yaş üstü kişilere satılıyorsa: x kişinin yaşı olabilir ve x > 10 da “yaşı 10’dan büyük” olan herkesin konsere girebilmesi demektir.
Bir başka örnekte, x bir cep telefonunda depoladığınız fotoğraf sayısı olabilir ve y = 3 sabit bir sayı olsun. “x - 3 > 7”, belki “İşlenmemiş 3 fotoğrafı çıkarınca, geriye kalanları 7’den fazla tutmalıyım” gibi bir mantık kurgulanabilir. Bu da bir senaryo.
7. Sık Yapılan Hatalar
- İşlemleri Yanlış Yönde Yapmak: Bazı öğrenciler, x - 3 > 7 ifadesinde “-3”'ü diğer tarafa geçirmekte karışıklık yaşayabiliyor. Doğru yöntem, her iki tarafa 3 eklemek veya -3’ü +3 olarak diğer tarafa atamak.
- Negatif Sayı ile Çarparken/Döverken Yön Değiştirmeyi Unutmak: Bu soruda yok ama gelecek sorularda, eşitsizlik “-2” gibi negatif bir sayıya bölünürse eşitsizlik yönü değişir.
- Açık/Kapalı Daireleri Yanlış Kullanmak: x > 10 yerine yanlışlıkla 10’a kapalı daire yapmak veya x ≥ 10 yerine açık daire kullanmak, öğrencilerin sık yaptığı bir hata.
- Sayı Doğrusunda Yanlış Yöne Gitmek: x > 10 ise, büyük sayılar her zaman sağda olacağı için, ok sağa yönelmelidir.
Bu hataları göz önünde bulundurarak, pratik yapmak ve mantığı netleştirmek çok önemlidir.
8. Konuya İlişkin Özet Tablo
Aşağıdaki tablo, x - 3 > 7 eşitsizliğiyle ilgili temel aşamaları ve sonucu kısaca özetler:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Eşitsizliği yazma | x - 3 > 7 | — |
| 2. Her iki tarafa 3 ekleme | (x - 3) + 3 > 7 + 3 | x > 10 |
| 3. Çözüm ifadesi | x > 10 | (10, ∞) |
| 4. Sayı doğrusunda gösterim | 10 noktasında açık daire, sağa ok | |
| 5. Seçenek analizi (muhtemelen test sorusunda) | Açık daire, 10 değerinde, sağa yön | Doğru şık |
Bu tabloya bakarak, x - 3 > 7 eşitsizliği için çözümün hemen x > 10 olduğunu ve bu çözümü sayı doğrusunda nasıl gösterdiğimizi netleştirebilirsiniz.
9. Sonuç ve Kapsayıcı Değerlendirme
Bu soruda, x - 3 > 7 eşitsizliğini çözdük. Her iki tarafa 3 eklediğimizde, eşitsizliğin yönü değişmeden “x > 10” elde ettik. Bu, “x 10’dan büyük her sayı olabilir” anlamına gelir. Dolayısıyla sayı doğrusunda 10 noktasında içi boş daire (açık daire) konulur ve sağa doğru (sonsuzluğa) bir ok çizilir.
Test kitabındaki şıklar incelendiğinde, genellikle şu görsel unsurlar önem taşır:
- Boş (Açık) daire: Sınır değeri (burada 10) çözüm kümesine dahil değil.
- Dolu (Kapalı) daire: Sınır değeri çözüm kümesine dahil.
- Ok yönü sağa: x değeri sınırın üzerindeyse (büyükse).
- Ok yönü sola: x değeri sınırın altındaysa (küçükse).
Bu bilgiler ışığında, soruda “x - 3 > 7” eşitsizliğinin çözümü x > 10 olmakta, sayı doğrusundaki temsilinde 10 noktasında açık bir daire ile sağa doğru uzanan bir çizgi bulunmaktadır. Sorunun test kitabındaki görselinde, “0” olarak işaretlenmiş kısım 10’a karşılık geliyorsa, orada da boş bir halka olacak ve sağa ok çıkacaktı. Dolayısıyla dört seçeneğin arasında “açık (boş) nokta ve sağa ok” şeklinde olanı doğru yanıt olarak işaretlemeliyiz.
Bu sorunun eğitsel özeti şudur: Eşitsizlikler, temel cebirsel prensiplerle, çok basit toplama/çıkarma ya da çarpma/bölme kurallarıyla hızlıca çözülebilir. Yine de belirtmek gerekir ki negatif sayılarla çarpma ya da bölme durumunda yön değiştirme kuralı unutulmamalıdır. Bu örnekte negatif sayıya bölme olmadığı için yön değiştirme uygulamıyoruz. Sonuçta, x > 10 neticesiyle, tek yapmamız gereken 10’un sağını kapsayan açık uçlu aralığı işaretlemektir.
Dolayısıyla, bu tip test sorularında sayısal işlem basit görünse bile, özellikle sayı doğrusunda temsil ve açık-kapalı daire farkı önemlidir ve sıklıkla öğrencilerin işaretleme hatalarına yol açabilir. Bir sorunun doğru çözümüne ulaşmak için bu nüansları dikkatlice analiz etmek gerekir.