Sürtünmesiz yatay düzlemde aynı ip üzerindeki m_{K} ve m_{L} kütleli K ve L cisimleri düzgün çembersel hareket yapmaktadır.
İpteki gerilme kuvvetlerinin büyüklükleri oranı \frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{5}{3} olduğuna göre \frac{m_{K}}{m_{L}} oranı nedir?
Düzgün Çembersel Hareket Yapan Cisimlerde Kütleler Oranının Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
Yatay düzlemde düzgün çembersel hareket yapan bir cisim için merkeze doğru olan net kuvvet, merkezcil kuvvete (F_{\text{merkezcil}}) eşittir:
F_{\text{merkezcil}} = m \cdot \omega^2 \cdot r
- m: Cismin kütlesi
- \omega: Açısal hız (aynı ip üzerinde birlikte döndükleri için her iki cisim için eşittir)
- r: Cismin dönme eksenine (O noktasına) olan dik uzaklığı (yarıçap)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Cisimlerin Dönme Yarıçaplarını ve Açısal Hızlarını Belirleme
- \text{K} cisminin dönme merkezine olan uzaklığı: r_K = 2\ell
- \text{L} cisminin dönme merkezine olan uzaklığı: r_L = 2\ell + \ell = 3\ell
- Cisimler aynı eksen etrafında bir arada döndükleri için açısal hızları eşittir: \omega_K = \omega_L = \omega
Adım 2 — \text{L} Cismine Etki Eden Net Kuvveti ve T_2 Gerilmesini Yazma
\text{L} cismine merkeze doğru etki eden tek kuvvet T_2 gerilmesidir:
T_2 = F_{\text{merkezcil, L}} = m_L \cdot \omega^2 \cdot (3\ell)
Adım 3 — \text{K} Cismine Etki Eden Net Kuvveti ve T_1 Gerilmesini Yazma
\text{K} cismine merkeze doğru T_1, dışarıya doğru ise T_2 gerilme kuvveti etki eder. Merkeze doğru net kuvvet, \text{K} cisminin merkezcil kuvvetine eşittir:
T_1 - T_2 = F_{\text{merkezcil, K}} = m_K \cdot \omega^2 \cdot (2\ell)
Buradan T_1 yalnız bırakılırsa:
T_1 = m_K \cdot \omega^2 \cdot (2\ell) + T_2
T_1 = m_K \cdot \omega^2 \cdot (2\ell) + m_L \cdot \omega^2 \cdot (3\ell)
Adım 4 — İp Gerilmeleri Oranını Eşitleme ve Sadeleştirme
Soruda verilen \frac{T_1}{T_2} = \frac{5}{3} oranını uygulayalım:
\frac{T_1}{T_2} = \frac{m_K \cdot \omega^2 \cdot 2\ell + m_L \cdot \omega^2 \cdot 3\ell}{m_L \cdot \omega^2 \cdot 3\ell} = \frac{5}{3}
Ortak olan \omega^2 \cdot \ell terimleri sadeleştiğinde:
\frac{2m_K + 3m_L}{3m_L} = \frac{5}{3}
Adım 5 — İçler Dışlar Çarpımı ile \frac{m_K}{m_L} Oranını Bulma
3 \cdot (2m_K + 3m_L) = 5 \cdot 3m_L
6m_K + 9m_L = 15m_L
6m_K = 6m_L
\frac{m_K}{m_L} = 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \mathbf{\dfrac{m_K}{m_L} = 1}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Birlikte Dönen Cisimlerde Açısal Hız (\omega)
- Tanım: Birim zamanda taranan açı miktarıdır.
- Bu problemde: İki cisim de aynı doğru boyunca tek bir ip üstünde döndüğünden, eşit sürede eşit açı tararlar ve açısal hızları (\omega) birbirine eşittir.
2. İçteki İp Gerilmesi (T_1)
- Tanım: Kendisinden sonra gelen tüm kütlelerin merkezcil kuvvetlerinin toplamını taşır.
- Bu problemde: T_1, hem \text{K} hem de \text{L} cisminin dönmesi için gereken merkezcil kuvvetlerin toplamını karşılamaktadır.
SIK YAPILAN HATALAR:
\text{L} Cisminin Yarıçapını Yanlış Almak
- Yanlış: \text{L} cisminin yarıçapını sadece aradaki mesafe olan \ell olarak almak.
- Doğru: Dönme yarıçapı daima dönme merkezi olan \text{O} noktasına göre alınır (r_L = 2\ell + \ell = 3\ell).
- Neden yanlış: Merkezcil kuvvet formülündeki r, yörüngenin merkezine olan toplam dik uzaklıktır.
T_1 Gerilmesine Sadece \text{K} Cisminin Kuvvetini Eşitlemek
- Yanlış: T_1 = m_K \cdot \omega^2 \cdot 2\ell yazmak.
- Doğru: T_1, \text{L} cismine bağlı olan T_2 gerilmesini de çekmek zorundadır (T_1 = F_{\text{merkezcil, K}} + T_2).
- Neden yanlış: İçteki ip parçası, dıştaki tüm kütleleri sisteme bağlı tutan kuvvettir.
Düşey düzlemde çembersel hareket veya açısal momentum gibi bu konunun devamındaki soru tipleriyle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?