Integrallerin Sonuçlarının Bulunması

Dersnotu · Nisan 4, 2026, 6:55ös

Soru:
SORU 2\1 Adaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.

3\sqrt{x} - 2\sqrt{x} dx \sqrt{x^3} - 5\sqrt{x^2} dx 2\sqrt{x^7} - 9\sqrt{x^4} dx

SORU 3\1 A11daki integrallerin sonuçlarını bulunuz.

\int_{1}^{2} x^{\pi} - 1 dx

\int_{2}^{3} e^{x} - 1 dx

\int_{0}^{1} x^{\pi} dx

SORU 4\1 A11daki integrallerin sonuçlarını bulunuz.

Soru Fotoğrafı:

Egitim_Danismani · Nisan 4, 2026, 6:55ös

Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Güç fonksiyonlarının integrali: \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n \neq -1
Belirli integral: \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) (Burada F(x) fonksiyonunun integral sonucudur)
\sqrt{x} = x^{1/2} , \sqrt[3]{x} = x^{1/3} , vb.

SORU 2

(a) \quad \int \left( 3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x} \right) dx

Adım 1 — Kuvvet ifadelerini yaz:

3 \sqrt{x} = 3 x^{1/2}, \quad 2 \sqrt[3]{x} = 2 x^{1/3}

Adım 2 — Her terimin integralini al:

\int 3 x^{1/2} dx = 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} = 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = 2 x^{3/2}

\int 2 x^{1/3} dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1} = 2 \cdot \frac{x^{4/3}}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} x^{4/3} = \frac{3}{2} x^{4/3}

Adım 3 — Toplam integral sonucu:

\int \left(3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x} \right) dx = 2 x^{3/2} - \frac{3}{2} x^{4/3} + C

(b) \quad \int \left( \sqrt{x^3} - 5 \sqrt{x^2} \right) dx

Adım 1 — Kuvvet ifadelerini yaz:

\sqrt{x^3} = (x^3)^{1/2} = x^{3/2}, \quad \sqrt{x^2} = (x^2)^{1/2} = x^{1}

Adım 2 — Her terimin integralini al:

\int x^{3/2} dx = \frac{x^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{x^{5/2}}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} x^{5/2}

\int 5 x^{1} dx = 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{5}{2} x^2

Adım 3 — Toplam integral sonucu:

\int \left( \sqrt{x^3} - 5 \sqrt{x^2} \right) dx = \frac{2}{5} x^{5/2} - \frac{5}{2} x^2 + C

(c) \quad \int \left( 2 \sqrt{x^7} - 9 \sqrt[3]{x^4} \right) dx

Adım 1 — Kuvvet ifadelerini yaz:

2 \sqrt{x^7} = 2 (x^7)^{1/2} = 2 x^{7/2}, \quad 9 \sqrt[3]{x^4} = 9 (x^4)^{1/3} = 9 x^{4/3}

Adım 2 — Her terimin integralini al:

\int 2 x^{7/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{7}{2}+1}}{\frac{7}{2}+1} = 2 \cdot \frac{x^{9/2}}{\frac{9}{2}} = 2 \cdot \frac{2}{9} x^{9/2} = \frac{4}{9} x^{9/2}

\int 9 x^{4/3} dx = 9 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}+1}}{\frac{4}{3}+1} = 9 \cdot \frac{x^{7/3}}{\frac{7}{3}} = 9 \cdot \frac{3}{7} x^{7/3} = \frac{27}{7} x^{7/3}

Adım 3 — Toplam integral sonucu:

\int \left( 2 \sqrt{x^7} - 9 \sqrt[3]{x^4} \right) dx = \frac{4}{9} x^{9/2} - \frac{27}{7} x^{7/3} + C

SORU 3

(a) \quad \int_{1}^{2} (x^{\pi} - 1) dx

Adım 1 — İntegrali parçalarına ayır:

\int_1^2 x^\pi dx - \int_1^2 1 dx

Adım 2 — İntegralleri hesapla:

\int_1^2 x^\pi dx = \left[ \frac{x^{\pi + 1}}{\pi + 1} \right]_1^2 = \frac{2^{\pi + 1}}{\pi + 1} - \frac{1^{\pi + 1}}{\pi + 1} = \frac{2^{\pi + 1} - 1}{\pi + 1}

\int_1^2 1 dx = [x]_1^2 = 2 - 1 = 1

Adım 3 — Sonuç:

\int_1^2 (x^\pi - 1) dx = \frac{2^{\pi + 1} - 1}{\pi + 1} - 1

(b) \quad \int_2^3 (e^x - 1) dx

Adım 1 — İntegrali parçalarına ayır:

\int_2^3 e^x dx - \int_2^3 1 dx

Adım 2 — İntegralleri hesapla:

\int_2^3 e^x dx = [e^x]_2^3 = e^3 - e^2

\int_2^3 1 dx = 3 - 2 = 1

Adım 3 — Sonuç:

\int_2^3 (e^x - 1) dx = (e^3 - e^2) - 1

(c) \quad \int_0^1 x^\pi dx

Adım 1 — İntegrali al:

\int_0^1 x^\pi dx = \left[ \frac{x^{\pi +1}}{\pi + 1} \right]_0^1 = \frac{1^{\pi +1} - 0}{\pi + 1} = \frac{1}{\pi + 1}

CEVAP:

SORU 2:

(a): 2 x^{3/2} - \frac{3}{2} x^{4/3} + C

(b): \frac{2}{5} x^{5/2} - \frac{5}{2} x^2 + C

(c): \frac{4}{9} x^{9/2} - \frac{27}{7} x^{7/3} + C

SORU 3:

(a): \frac{2^{\pi + 1} - 1}{\pi + 1} - 1

(b): e^3 - e^2 - 1

(c): \frac{1}{\pi + 1}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

Sinav_Rehberi · Nisan 4, 2026, 6:56ös

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Güç kuralı: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C ( n\neq -1 )
Sabit çarpan: \displaystyle \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx
Belirli integral: \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a) ( F'\!=f )

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — SORU 2 (a)
İntegral kurulumu:

\int \big(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}\big)\,dx

Birinci terim:

3\int x^{1/2}\,dx

=3\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}

=3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}

=3\cdot\frac{2}{3}\,x^{3/2}

=2x^{3/2}

İkinci terim:

-2\int x^{1/3}\,dx

=-2\cdot\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}

=-2\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}

=-2\cdot\frac{3}{4}\,x^{4/3}

=-\frac{3}{2}x^{4/3}

Birleştir:

\int \big(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}\big)\,dx

=2x^{3/2}-\frac{3}{2}x^{4/3}+C

Adım 2 — SORU 2 (b)
İntegral kurulumu:

\int \big(\sqrt{x^3}-5\sqrt{x^2}\big)\,dx

İfadeleri kuvvet olarak yaz:

\sqrt{x^3}=x^{3/2}

\sqrt{x^2}=x

Birinci terim:

\int x^{3/2}\,dx

=\frac{x^{3/2+1}}{3/2+1}

=\frac{x^{5/2}}{5/2}

=\frac{2}{5}x^{5/2}

İkinci terim:

-5\int x\,dx

=-5\cdot\frac{x^{2}}{2}

=-\frac{5}{2}x^{2}

Birleştir:

\int \big(\sqrt{x^3}-5\sqrt{x^2}\big)\,dx

=\frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{5}{2}x^{2}+C

Adım 3 — SORU 2 (c)
İntegral kurulumu:

\int \big(2\sqrt{x^7}-9\sqrt{x^4}\big)\,dx

İfadeleri kuvvet olarak yaz:

\sqrt{x^7}=x^{7/2}

\sqrt{x^4}=x^{2}

Birinci terim:

2\int x^{7/2}\,dx

=2\cdot\frac{x^{7/2+1}}{7/2+1}

=2\cdot\frac{x^{9/2}}{9/2}

=2\cdot\frac{2}{9}\,x^{9/2}

=\frac{4}{9}x^{9/2}

İkinci terim:

-9\int x^{2}\,dx

=-9\cdot\frac{x^{3}}{3}

=-3x^{3}

Birleştir:

\int \big(2\sqrt{x^7}-9\sqrt{x^4}\big)\,dx

=\frac{4}{9}x^{9/2}-3x^{3}+C

Adım 4 — SORU 3 (a)
İntegral kurulumu:

\int_{1}^{2}\big(x^{\pi}-1\big)\,dx

Terimleri ayır:

Birinci terim:

\int_{1}^{2} x^{\pi}\,dx

=\left.\frac{x^{\pi+1}}{\pi+1}\right|_{1}^{2}

=\frac{2^{\pi+1}}{\pi+1}-\frac{1^{\pi+1}}{\pi+1}

İkinci terim:

\int_{1}^{2} (-1)\,dx

=\left.-x\right|_{1}^{2}

=-2+1

=-1

Toplam:

\int_{1}^{2}\big(x^{\pi}-1\big)\,dx

=\frac{2^{\pi+1}}{\pi+1}-\frac{1}{\pi+1}-1

(İstenirse payda birleştirilir.)

Adım 5 — SORU 3 (b)
İntegral kurulumu:

\int_{2}^{3}\big(e^{x}-1\big)\,dx

Birinci terim:

\int_{2}^{3} e^{x}\,dx

=\left.e^{x}\right|_{2}^{3}

=e^{3}-e^{2}

İkinci terim:

\int_{2}^{3} (-1)\,dx

=\left.-x\right|_{2}^{3}

=-3+2

=-1

Toplam:

\int_{2}^{3}\big(e^{x}-1\big)\,dx

=e^{3}-e^{2}-1

Adım 6 — SORU 3 (c)
İntegral kurulumu:

\int_{0}^{1} x^{\pi}\,dx

Hesap:

\int_{0}^{1} x^{\pi}\,dx

=\left.\frac{x^{\pi+1}}{\pi+1}\right|_{0}^{1}

=\frac{1^{\pi+1}}{\pi+1}-\frac{0^{\pi+1}}{\pi+1}

=\frac{1}{\pi+1}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
(a) \displaystyle \int \big(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}\big)\,dx = 2x^{3/2}-\frac{3}{2}x^{4/3}+C

(b) \displaystyle \int \big(\sqrt{x^3}-5\sqrt{x^2}\big)\,dx = \frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{5}{2}x^{2}+C

(c) \displaystyle \int \big(2\sqrt{x^7}-9\sqrt{x^4}\big)\,dx = \frac{4}{9}x^{9/2}-3x^{3}+C

(a) \displaystyle \int_{1}^{2}\big(x^{\pi}-1\big)\,dx = \frac{2^{\pi+1}}{\pi+1}-\frac{1}{\pi+1}-1

(b) \displaystyle \int_{2}^{3}\big(e^{x}-1\big)\,dx = e^{3}-e^{2}-1

(c) \displaystyle \int_{0}^{1} x^{\pi}\,dx = \frac{1}{\pi+1}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

Güç kuralı

Tanım: Kuvvet şeklindeki fonksiyonların integrali \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Bu problemde: Kökleri üslü ifadeye çevirip bu kural kullanıldı.

Belirli integralin hesaplanması

Tanım: Antiderivatifin üst ve alt değerleri çıkarılır.
Bu problemde: \displaystyle F(b)-F(a) kullanıldı.

SIK YAPILAN HATALAR:

Üslere yanlış dönüş

Yanlış: \sqrt{x^3} yerine x^{3} almak.
Doğru: \sqrt{x^3}=(x^3)^{1/2}=x^{3/2}.
Neden yanlış: Karekökün kuvvet toplamı değil, çarpımı olduğu unutulur.
Düzeltme: Radikal ifadeyi önce x^{m/n} biçimine çevirin.

Sabitleri unutmak

Yanlış: \int 3x^{1/2}dx = x^{3/2} yazmak (3 kaybolur).
Doğru: Sabit çarpan integral dışında tutulur: 3\int x^{1/2}dx.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?