Integrallerin Sonuçlarını Bulma

Dersnotu · Nisan 4, 2026, 6:37ös

Soru:
SORU 2 : Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.

∫ 3\sqrt{x} - 2\sqrt{x} dx

(b)

∫ \sqrt{x^3} - 5\sqrt{x^2} dx ∫ 2\sqrt{x^7} + 9\sqrt{x^4} dx

SORU 3 : Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.

∫_{1}^{x^{-1}} x^2 dx

(b)

∫_{2}^{3} e^{x^{-1}} dx ∫_{0}^{1} x^{\pi} dx

SORU 4 : Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını

Soru Fotoğrafı:

Egitim_Danismani · Nisan 4, 2026, 6:38ös

Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Güç fonksiyonlarının integrali: \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
Sabit katsayı integrale dışarı çıkarılabilir.
Kökleri üs olarak yazıp integral hesaplanır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

SORU 2 (a)

∫ ( 3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x} ) dx

\sqrt{x} = x^{1/2}, \sqrt[3]{x} = x^{1/3}
İntegre edelim:

= 3 ∫ x^{1/2} dx - 2 ∫ x^{1/3} dx = 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} + C

= 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - 2 \cdot \frac{3}{4} x^{4/3} + C = 2 x^{3/2} - \frac{3}{2} x^{4/3} + C

SORU 2 (b)

∫ (\sqrt{x^3} - 5 \sqrt{x^2}) dx

\sqrt{x^3} = (x^3)^{1/2} = x^{3/2}
\sqrt{x^2} = (x^2)^{1/2} = x^{1}
İntegrali hesapla:

∫ (x^{3/2} - 5x) dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} - 5 \frac{x^2}{2} + C = \frac{2}{5} x^{5/2} - \frac{5}{2} x^2 + C

SORU 2 (c)

∫ (2 \sqrt{x^7} + 9 \sqrt[5]{x^4}) dx

\sqrt{x^7} = (x^7)^{1/2} = x^{7/2}
\sqrt[5]{x^4} = (x^4)^{1/5} = x^{4/5}
İntegrali hesapla:

= 2 ∫ x^{7/2} dx + 9 ∫ x^{4/5} dx = 2 \cdot \frac{x^{9/2}}{9/2} + 9 \cdot \frac{x^{9/5}}{9/5} + C

= 2 \cdot \frac{2}{9} x^{9/2} + 9 \cdot \frac{5}{9} x^{9/5} + C = \frac{4}{9} x^{9/2} + 5 x^{9/5} + C

SORU 3 (a)

∫_{1}^{x^{-1}} x^2 dx

Burada tanımlama dışında üst sınırda x^{-1} var; sınırlar değişkenli. Bu ifade muhtemelen soru hatalı ya da burada değişken üst sınır ile integral verilmiş.
Genel integral:

∫ x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C

Definite integral üzerinde işlem yaparsak:

\int_1^{x^{-1}} t^2 dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_1^{x^{-1}} = \frac{(x^{-1})^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{x^{-3} - 1}{3}

SORU 3 (b)

∫_{2}^{3} e^{x^{-1}} dx

e^{x^{-1}} fonksiyonunun temel integralini kapalı ifade ile yazmak zordur, özel fonksiyonlardan yararlanılır veya nümerik hesaplama yapılır.
Bu integralin kapalı form çözümü elementary fonksiyonlarla mümkün değildir.

SORU 3 (c)

∫_{0}^{1} x^{\pi} dx

Güç fonksiyonu integrali:

∫_0^1 x^{\pi} dx = \left[ \frac{x^{\pi+1}}{\pi + 1} \right]_0^1 = \frac{1^{\pi+1} - 0}{\pi+1} = \frac{1}{\pi + 1}

CEVAP:

Soru 2 (a): \boxed{2 x^{3/2} - \frac{3}{2} x^{4/3} + C}
Soru 2 (b): \boxed{\frac{2}{5} x^{5/2} - \frac{5}{2} x^2 + C}
Soru 2 (c): \boxed{\frac{4}{9} x^{9/2} + 5 x^{9/5} + C}
Soru 3 (a): \boxed{\frac{x^{-3} - 1}{3}}
Soru 3 (b): Kapalı formda elementary integral çözülemez, nümerik çözüm gerekir.
Soru 3 (c): \boxed{\frac{1}{\pi + 1}}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

Sinav_Rehberi · Nisan 4, 2026, 6:39ös

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Güç kuralı: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C ( n\neq-1 )
Üstel fonksiyon: \displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C
Belirli integral: \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a) ( F antiderivatif )

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — SORU 2 (a)
İntegral kurulumu:

\int \big(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}\big)\,dx=\int \big(3x^{1/2}-2x^{1/3}\big)\,dx

Birinci terim:

3\int x^{1/2}\,dx

=3\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}

=3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}

=3\cdot\frac{2}{3}\,x^{3/2}

=2x^{3/2}

İkinci terim:

-2\int x^{1/3}\,dx

=-2\cdot\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}

=-2\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}

=-2\cdot\frac{3}{4}\,x^{4/3}

=-\tfrac{3}{2}\,x^{4/3}

Toplam:

2x^{3/2}-\tfrac{3}{2}x^{4/3}+C

Adım 2 — SORU 2 (b)
İntegral kurulumu:

\int\big(\sqrt{x^3}-5\sqrt{x^2}\big)\,dx=\int\big(x^{3/2}-5x\big)\,dx

Birinci terim:

\int x^{3/2}\,dx

=\frac{x^{3/2+1}}{3/2+1}

=\frac{x^{5/2}}{5/2}

=\frac{2}{5}x^{5/2}

İkinci terim:

-5\int x\,dx

=-5\cdot\frac{x^{2}}{2}

=-\frac{5}{2}x^{2}

Toplam:

\frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{5}{2}x^{2}+C

Adım 3 — SORU 2 (c)
İntegral kurulumu:

\int\big(2\sqrt{x^7}+9\sqrt{x^4}\big)\,dx=\int\big(2x^{7/2}+9x^{2}\big)\,dx

Birinci terim:

2\int x^{7/2}\,dx

=2\cdot\frac{x^{7/2+1}}{7/2+1}

=2\cdot\frac{x^{9/2}}{9/2}

=2\cdot\frac{2}{9}\,x^{9/2}

=\frac{4}{9}x^{9/2}

İkinci terim:

9\int x^{2}\,dx

=9\cdot\frac{x^{3}}{3}

=3x^{3}

Toplam:

\frac{4}{9}x^{9/2}+3x^{3}+C

Adım 4 — SORU 3 (a)
İntegral kurulumu (belirli integral):

\int_{1}^{2} x^{\pi-1}\,dx

Antiderivatif:

\int x^{\pi-1}\,dx=\frac{x^{\pi}}{\pi}

Değerlendir:

\left.\frac{x^{\pi}}{\pi}\right|_{1}^{2}

=\frac{2^{\pi}}{\pi}-\frac{1^{\pi}}{\pi}

=\frac{2^{\pi}-1}{\pi}

Adım 5 — SORU 3 (b)
İntegral kurulumu (belirli integral):

\int_{2}^{3} e^{x-1}\,dx

Antiderivatif:

\int e^{x-1}\,dx=e^{x-1}

Değerlendir:

\left.e^{x-1}\right|_{2}^{3}

=e^{3-1}-e^{2-1}

=e^{2}-e^{1}

=e^{2}-e

Adım 6 — SORU 3 (c)
İntegral kurulumu (belirli integral):

\int_{0}^{1} x^{\pi}\,dx

Antiderivatif:

\int x^{\pi}\,dx=\frac{x^{\pi+1}}{\pi+1}

Değerlendir:

\left.\frac{x^{\pi+1}}{\pi+1}\right|_{0}^{1}

=\frac{1^{\pi+1}}{\pi+1}-\frac{0^{\pi+1}}{\pi+1}

=\frac{1}{\pi+1}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
Soru 2 (a): \displaystyle 2x^{3/2}-\tfrac{3}{2}x^{4/3}+C

Soru 2 (b): \displaystyle \tfrac{2}{5}x^{5/2}-\tfrac{5}{2}x^{2}+C

Soru 2 (c): \displaystyle \tfrac{4}{9}x^{9/2}+3x^{3}+C

Soru 3 (a): \displaystyle \frac{2^{\pi}-1}{\pi}

Soru 3 (b): \displaystyle e^{2}-e

Soru 3 (c): \displaystyle \frac{1}{\pi+1}

TEMEL KAVRAMLAR:

Güç kuralı

Tanım: Üs şeklindeki fonksiyonların integrali, üssün bir fazlasıyla bölünerek bulunur.
Bu problemde: Tüm çok terimli integraller bu kural ile çözüldü.

Üstel fonksiyon integrali

Tanım: e üzeri x’in integrali kendisidir.
Bu problemde: e^{x-1} doğrudan antiderivatif olarak kullanıldı.

SIK YAPILAN HATALAR:

Üs yanlış artırma

Yanlış: \int x^{n}\,dx = \tfrac{x^{n}}{n} yazmak.
Doğru: \int x^{n}\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1}
Neden yanlış: Üs artışı ihmal edilir.
Düzeltme: Antiderivatifte üssü 1 artır ve yeni üs ile böl.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?