İntegralinin değeri kaçtır?

YKS TYT
1

integral

A) 4
B) 2
C) -1
E) -4
integralinin değeri kaçtır?
Buna göre,
-2
ğıda vérilmiştir.
27.
y = f(x) fonksiyonunun [-2.2) araliğındki grafiğj

Soru Görseli
Soru Görseli884×800 58.4 KB

2

y = f(x) Grafiğine Göre Belirli İntegral Hesabı

:light_bulb: [KULLANILAN KURAL / FORMÜL:]
Bir fonksiyonun belirli integrali \int_{a}^{b} f(x) \, dx, fonksiyonun grafiği ile x ekseni arasında kalan net alanı temsil eder. x ekseninin üstündeki alanlar pozitif (+), altındaki alanlar ise negatif (-) değer alır.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Grafiğin Parçalarını Belirleme
Verilen grafiği [-2, 2] aralığında üç ana bölgeye ayırarak inceleyelim:

  1. [-2, -1] aralığı: Sabit fonksiyon f(x) = 2 doğrusu.
  2. [-1, 1] aralığı: Orjinden geçen y = -x doğrusu.
  3. [1, 2] aralığı: Sabit fonksiyon f(x) = -2 doğrusu.

Adım 2 — Her Bölge İçin Alan Hesaplama

  • Bölge 1 (-2 ile -1 arası): Kenarları 1 birim ve 2 birim olan bir dikdörtgen. x ekseninin üstünde olduğu için:
    \text{Alan}_1 = 1 \times 2 = 2
  • Bölge 2 (-1 ile 1 arası): Burada iki adet eş dik üçgen vardır.
    • [-1, 0] aralığındaki üçgen üsttedir: \frac{1 \times 1}{2} = 0,5
    • [0, 1] aralığındaki üçgen alttadır: -\frac{1 \times 1}{2} = -0,5
    • Bu bölgenin toplamı: 0,5 + (-0,5) = 0 (Simetriden dolayı birbirini yok eder).
  • Bölge 3 (1 ile 2 arası): Kenarları 1 birim ve 2 birim olan bir dikdörtgen. Ancak x ekseninin altında olduğu için:
    \text{Alan}_3 = 1 \times (-2) = -2

Adım 3 — Toplam İntegral Değerini Bulma
Tüm bölgelerdeki değerleri topladığımızda:

\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = \text{Alan}_1 + \text{Alan}_2 + \text{Alan}_3
\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 2 + 0 + (-2) = 0

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 0
(Not: Görseldeki seçeneklerde 0 değeri doğrudan yer almamaktadır ancak grafik simetrik bir tek fonksiyon yapısındadır. Grafik incelendiğinde x=-2 ile x=0 arası alan +2,5 birim, x=0 ile x=2 arası alan -2,5 birimdir. Toplam sonuç 0 çıkmaktadır. Şıkları tekrar kontrol ettiğimizde bir baskı hatası olabilir veya grafik değerleri farklı yorumlanmış olabilir. Ancak matematiksel hesaplama sonucu 0’dır.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Belirli İntegral

  • [Tanım:] Bir aralıktaki değişim miktarının toplamıdır.
  • [Bu problemde:] Geometrik alan hesaplaması yapılarak sonuca ulaşılmıştır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Alanları Mutlak Değerce Toplamak

  • [Yanlış:] 2 + 0,5 + 0,5 + 2 = 5 şeklinde tüm alanları pozitif almak.
  • [Doğru:] x ekseninin altında kalan kısımları negatif işaretle toplama dahil etmek.
  • [Neden yanlış:] İntegral “alan” değil, “yönlü alan” toplamıdır.

Bu çözümde takıldığın veya grafikte farklı olduğunu düşündüğün bir nokta var mı? Benzer bir integral sorusu daha çözmemi ister misin?