Verilen İfadenin İntegralini Hesaplayın:
Görselde verilmiş olan integral:
Bu tür bir integral, trigonometri ve değişken dönüşümleri ile hesaplanabilir. Verilen ifade \sec fonksiyonu cinsinden yeniden yazılabilir:
Çözüm:
Bu integral için doğrudan bir formül yoktur, ancak türev ve trigonometri bilgisi ile çözülebilir. Bu tür integrallerde yaygın bir yöntem, \sec x (\sec x \tan x) çarpımına başvurmaktır. Uygun bir değişken seçimiyle bu integral çözülebilir.
-
Değişken Seçimi:
\tan x için u değişkeni belirlenebilir. Böylelikle, du = \sec^2 x \, dx olur. Ancak yukarıdaki ifade \sec^3 x olduğundan, bu türevi uygun hale getirmek için farklı bir yol izlenmelidir.
-
Parçalı İntegrasyon Yöntemi:
Başka bir yöntem ise parçalı integrasyonu kullanmaktır.
Bu yöntemde \sec x ve \sec^2 x ayrılır:
$$ \int \sec^3 x , dx = \int \sec x \cdot \sec^2 x , dx $$
\sec^2 x = \frac{d}{dx} (\tan x) olduğundan, parçalı integrasyonda kullanabileceğimiz bir yapı:
- u = \sec x, dolayısıyla du = \sec x \tan x \, dx
- dv = \sec^2 x \, dx, dolayısıyla v = \tan x
Parçalı integrasyon formülü: \int u \, dv = uv - \int v \, du
Uyguladığımızda:
\int \sec x \cdot \sec^2 x \, dx = \sec x \cdot \tan x - \int \tan x \cdot \sec x \tan x \, dx\int \sec x \cdot \tan^2 x \, dx = \sec x \cdot \tan x - \int \sec x (\sec^2 x - 1) \, dxBu noktada, \int \sec^3 x \, dx ve \int \sec x \, dx arasında bir ilişki kurarak integrali çözebiliriz.
Yukarıdaki adıma devam ederek:
= \sec x \cdot \tan x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x \, dx -
Çözümleme ve Sonuç:
Burada \int \sec^3 x \, dx integralini sol ve sağ tarafta denkleştirebiliriz:
2 \int \sec^3 x \, dx = \sec x \cdot \tan x + \int \sec x \, dxBuradan sadeleştirildiğinde:
\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2} \left( \sec x \cdot \tan x + \ln |\sec x + \tan x| \right) + C
Sonuç olarak, verilen integral ifadesinin çözümü yukarıdaki gibidir. Buradaki C, integrasyon sabitini ifade etmektedir.