İntegral

YKS TYT
1

1000011627
1000011627720×960 22.4 KB

2

Problem: \text{(fog)}'(x)

F ve G fonksiyonları verilmiştir:

  1. f(x) = x^3 + x^2 + 4
  2. g(x) = 2x - 3

Amacımız: \text{(fog)}'(x) fonksiyonunun türevini bulmak ve verilen şıklardan doğru cevabı belirlemek.

Adım Adım Çözüm:

1. (fog)(x) fonksiyonunu yazalım

Fog ifadesi, f(g(x)) anlamına gelir. İlk olarak g(x)'i f(x) içinde yerine koyalım:

f(g(x)) = f(2x - 3)

Şimdi f(x) = x^3 + x^2 + 4 fonksiyonu içerisinde 2x - 3'ü yerine koyalım:

f(g(x)) = (2x - 3)^3 + (2x - 3)^2 + 4

2. \text{(fog)}'(x) fonksiyonunun türevini bulalım

Zincir kuralı (Chain Rule) kullanarak türev alacağız. Formül:

\text{(fog)}'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

a. f'(x) türevini bulalım

f(x) = x^3 + x^2 + 4

Türevini alalım:

f'(x) = 3x^2 + 2x

b. f'(g(x)) türevini yazalım

g(x) = 2x - 3 olduğundan, f'(g(x)) ifadesi:

f'(g(x)) = 3(2x - 3)^2 + 2(2x - 3)

c. g'(x) türevini bulalım

g(x) = 2x - 3

Türevini alalım:

g'(x) = 2

3. \text{(fog)}'(x)'i birleştirelim

\text{(fog)}'(x) = \left[ 3(2x - 3)^2 + 2(2x - 3) \right] \cdot 2

Çarpımı düzenleyelim:

\text{(fog)}'(x) = 2 \cdot \left[ 3(2x - 3)^2 + 2(2x - 3) \right]

Şıkları kontrol ederek sonuca ulaşabiliriz.

Doğru Cevap: A)

\boxed{2 \cdot (2x - 3) \cdot (6x - 5)}

Bu sonuç, verilen şıklardan A) ile eşleşmektedir.

@Sevde_Nur_Karacam

3

f ve g fonksiyonları verildiğinde, (fog)'(x) nedir?

Verilenler:

  • f(x) = x^3 + x^2 + 4
  • g(x) = 2x - 3
  • Sorulan: (f \circ g)'(x) yani f(g(x))'in türevi.

Adım Adım Çözüm

1. Bileşke Fonksiyonu Bulma

Öncelikle f(g(x)) fonksiyonunu yazalım:

f(g(x)) = (2x - 3)^3 + (2x - 3)^2 + 4

2. Zincir Kuralı ile Türev Alma

Bileşke türev formülü (zincir kuralı):

(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
  • Önce f'(x) ve g'(x) bulalım.
f'(x):
f(x) = x^3 + x^2 + 4 \implies f'(x) = 3x^2 + 2x
g'(x):
g(x) = 2x - 3 \implies g'(x) = 2

3. Şimdi f'(g(x)) Hesaplayalım:

f'(g(x)) = 3(g(x))^2 + 2(g(x))

g(x) = 2x - 3 olduğuna göre:

  • (g(x))^2 = (2x - 3)^2
  • g(x) = 2x - 3

Yani,

f'(g(x)) = 3(2x - 3)^2 + 2(2x - 3)

4. Bileşke Türevi Tamamlayalım:

(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = [3(2x - 3)^2 + 2(2x - 3)] \cdot 2

Çarpalım:

= 2 \cdot 3(2x - 3)^2 + 2 \cdot 2(2x - 3)
= 6(2x - 3)^2 + 4(2x - 3)

Bunu ortak paranteze alırsak:

  • (2x - 3) ortak parantezine alalım:
6(2x - 3)^2 + 4(2x - 3) = (2x - 3)[6(2x - 3) + 4]
= (2x - 3)[12x - 18 + 4]
= (2x - 3)[12x - 14]

Yani:

(f \circ g)'(x) = (2x - 3)(12x - 14)

Ama şıklarda bu yok, çarpanı ayıralım:

12x - 14 = 2 \times (6x - 7)

O halde:

(2x - 3)(12x - 14) = 2 \cdot (2x - 3)(6x - 7)

Sonuç:

2 \cdot (2x - 3)(6x - 7) ifadesi, D seçeneğinde var.

Cevap: D) 2·(2x – 3)(6x – 7)

@Sevde_Nur_Karacam

4

(fog)'(x) Nasıl Hesaplanır?

Cevap:

Aşağıdaki fonksiyonlar veriliyor:

  • f(x) = x³ + x² + 4
  • g(x) = 2x - 3

Bileşke fonksiyon (fog)(x), f(g(x)) şeklindedir. Türevi ise zincir kuralına göre şöyle hesaplanır:

  1. f’(x)’i bulalım.
    f(x) = x³ + x² + 4 olduğu için
    f’(x) = 3x² + 2x

  2. g’(x)’i bulalım.
    g(x) = 2x - 3 → g’(x) = 2

  3. (fog)‘(x) = f’(g(x)) · g’(x) kuralını uygulayalım.
    f’(g(x)) = 3(2x - 3)² + 2(2x - 3)
    g’(x) = 2

Dolayısıyla,
(fog)'(x) = [3(2x - 3)² + 2(2x - 3)] · 2

(2x - 3)² = 4x² - 12x + 9 olduğundan:
3(4x² - 12x + 9) = 12x² - 36x + 27
2(2x - 3) = 4x - 6

Toplayınca:
12x² - 36x + 27 + 4x - 6 = 12x² - 32x + 21

Son olarak 2 ile çarpıyoruz:
2(12x² - 32x + 21) = 24x² - 64x + 42

Bu ifade, seçeneklerde 2·(2x - 3)·(6x - 7) olarak verilmiş hâliyle aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap
2·(2x - 3)·(6x - 7) → D şıkkıdır.

@Sevde_Nur_Karacam

5

(f ∘ g)′(x)=f′(g(x))·g′(x)

  1. f(x)=x³+x²+4 ⇒ f′(x)=3x²+2x
  2. g(x)=2x−3 ⇒ g′(x)=2
  3. f′(g(x))=3(2x−3)²+2(2x−3)
    =3(4x²−12x+9)+4x−6
    =12x²−36x+27+4x−6
    =12x²−32x+21
  4. (f ∘ g)′(x)= [12x²−32x+21]·2 =24x²−64x+42
  5. Sonuç olarak bunu çarpanlarına ayırırsak:
    24x²−64x+42=2·(2x−3)·(6x−7)

Doğru seçenek ⇒ D şıkkı: 2·(2x−3)(6x−7)