Soru:
İntegralin sonucu kaçtır?
İntegral \int \frac{x^3 + 8}{x^2} dx \ünitinin sonucu kaçtır?
Soru Fotoğrafı:
İntegralin sonucu kaçtır? \int \frac{x^3 + 8}{x^2} dx
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
\int \frac{f(x)}{g(x)} dx = \int \left( \text{bölme işlemi sonrası açılım} \right) dx
Ve kuvvet fonksiyonlarının integrali:
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bölme İşlemi Yap
\frac{x^3 + 8}{x^2} = \frac{x^3}{x^2} + \frac{8}{x^2} = x + 8x^{-2}
Adım 2 — İntegrali İkiye Ayır
\int \frac{x^3 + 8}{x^2} dx = \int x dx + \int 8x^{-2} dx
Adım 3 — Her Terimin İntegralini Al
\int x dx = \frac{x^{2}}{2} + C_1
\int 8x^{-2} dx = 8 \int x^{-2} dx = 8 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_2 = -8x^{-1} + C_2
Adım 4 — Sonucu Yaz
\int \frac{x^3 + 8}{x^2} dx = \frac{x^2}{2} - \frac{8}{x} + C
(Daima bir entegrasyon sabiti C eklenir.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \displaystyle \frac{x^2}{2} - \frac{8}{x} + C
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
İntegralin sonucu kaçtır? \displaystyle \int \frac{x^3 + 8}{x^2}\,dx ?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Güç Kuralı: \displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C ( n\neq -1 )
Lineerlik: \displaystyle \int (f+g)\,dx=\int f\,dx+\int g\,dx
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İfadeyi sadeleştir ve terimlere ayır
\displaystyle \int \frac{x^3 + 8}{x^2}\,dx
= \displaystyle \int \left(\frac{x^3}{x^2} + \frac{8}{x^2}\right)\,dx
\frac{x^3}{x^2} = x
\frac{8}{x^2} = 8x^{-2}
= \displaystyle \int \left(x + 8x^{-2}\right)\,dx
Adım 2 — Her terimi ayrı ayrı integre et
Birinci terim:
\displaystyle \int x\,dx
= \frac{x^2}{2}
İkinci terim:
\displaystyle \int 8x^{-2}\,dx
= 8 \int x^{-2}\,dx
= 8 \cdot \frac{x^{-1}}{-1}
= -8x^{-1}
Adım 3 — Sonucu birleştir
\displaystyle \int \left(x + 8x^{-2}\right)\,dx = \frac{x^2}{2} - 8x^{-1} + C
CEVAP: \displaystyle \boxed{\frac{x^2}{2} - \frac{8}{x} + C}
TEMEL KAVRAMLAR:
- Güç Kuralı
- Tanım: Üs fonksiyonlarının integrali \displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C ile bulunur.
- Bu problemde: x için n=1, x^{-2} için n=-2 olarak uygulandı.
- Lineerlik
- Tanım: İntegral toplama dağılım özelliğine sahiptir: \int(f+g)=\int f+\int g.
- Bu problemde: Paydaki toplam terimler ayrı ayrı integre edildi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Bölme hatası
- Yanlış: \frac{x^3+8}{x^2} ifadesini doğrudan x^3 + \frac{8}{x^2} gibi almak (bölme her terime ayrı uygulanmalı).
- Doğru: \frac{x^3}{x^2} + \frac{8}{x^2} şeklinde ayırmak.
- Neden yanlış: Payı tümüne bölmek yerine terimleri ayrı ayrı bölmek gerekiyor.
- Düzeltme: Her terimi ayrı olarak sadeleştir ve sonra integre et.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!