Soru:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
a)
\int_{1}^{2} x^{\pi - 1} \, dx
b)
\int_{2}^{3} e^{x - 1} \, dx
c)
\int_{0}^{1} x^{\pi e} \, dx
Soru Fotoğrafı:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Belirli integral hesaplamasında temel formül:
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
burada F(x), f(x)'in antitürevidir.
- Güç fonksiyonu integral formülü:
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
- Üstel fonksiyon integral formülü:
\int e^{kx} \, dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C
ÇÖZÜM ADIMLARI:
a) \int_{1}^{2} x^{\pi - 1} \, dx
Adım 1 — Antitürevini bulun
İntegrand x^{\pi - 1} bir güç fonksiyonudur.
Antitürev:
\int x^{\pi - 1} \, dx = \frac{x^{\pi - 1 + 1}}{\pi} + C = \frac{x^\pi}{\pi} + C
Adım 2 — Belirli integral sınırlarını uygulayın
\int_1^2 x^{\pi - 1} \, dx = \left[\frac{x^\pi}{\pi}\right]_1^2 = \frac{2^\pi}{\pi} - \frac{1^\pi}{\pi} = \frac{2^\pi - 1}{\pi}
b) \int_2^3 e^{x - 1} \, dx
Adım 1 — İç fonksiyonu sadeleştirin
e^{x-1} = e^{-1} \cdot e^x, sabit faktörü dışarı alabiliriz:
\int_2^3 e^{x-1} \, dx = e^{-1} \int_2^3 e^x \, dx
Adım 2 — Antitürevi alın
\int e^x \, dx = e^x + C
Adım 3 — Sınırları uygulayın
e^{-1} \left[e^x\right]_2^3 = e^{-1} (e^3 - e^2) = e^{2} - e^{1} = \frac{e^3 - e^2}{e}
(Hem biçimlerden yazdım, ikisi eşittir. İlk hali daha net.)
c) \int_0^1 x^{\pi e} \, dx
Adım 1 — Antitürevini hesapla
Güç fonksiyonu x^{\pi e} için:
\int x^{\pi e} \, dx = \frac{x^{\pi e + 1}}{\pi e + 1} + C
Adım 2 — Belirli integral sınırlarını uygula
\int_0^1 x^{\pi e} \, dx = \left[\frac{x^{\pi e + 1}}{\pi e + 1}\right]_0^1 = \frac{1^{\pi e + 1}}{\pi e + 1} - \frac{0^{\pi e + 1}}{\pi e + 1} = \frac{1}{\pi e + 1}
CEVAP:
a) \displaystyle \frac{2^\pi - 1}{\pi}
b) \displaystyle e^{-1}(e^3 - e^2) = \frac{e^3 - e^2}{e}
c) \displaystyle \frac{1}{\pi e + 1}
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Belirli integral:
- Tanım: Fonksiyonun belirli sınırlar arasındaki toplam alanını verir.
- Bu problemde: Antitürev bulunup üst ve alt sınır değerlerinde çıkarıldı.
2. Güç fonksiyonu integrali:
- Tanım: \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
- Bu problemde: Üstel ifadelerin üsleri gerçek sayılar olduğunda kullanıldı.
3. Üstel fonksiyon integrali:
- Tanım: \int e^{kx} dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C
- Bu problemde: k=1 olarak sadeleştirildi ve dışarı sabit e^{-1} alındı.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz:
\text{(a) } \int_{1}^{2} x^{\pi - 1} \, dx,\qquad
\text{(b) } \int_{2}^{3} e^{x - 1} \, dx,\qquad
\text{(c) } \int_{0}^{1} x^{\pi e} \, dx
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
1. Potens integral kuralı: $$\int x^{a},dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\quad (a\neq -1)$$
2. Üstel fonksiyon integrali: $$\int e^{u},du=e^{u}+C$$
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — (a) \displaystyle \int_{1}^{2} x^{\pi - 1}\,dx
Kurulum: integrali yaz.
\int_{1}^{2} x^{\pi - 1}\,dx
Hesaplama:
= \left[\frac{x^{\pi}}{\pi}\right]_{1}^{2}
= \frac{2^{\pi}}{\pi} - \frac{1^{\pi}}{\pi}
= \frac{2^{\pi}-1}{\pi}
Adım 2 — (b) \displaystyle \int_{2}^{3} e^{x-1}\,dx
Kurulum: integrali yaz.
\int_{2}^{3} e^{x-1}\,dx
Hesaplama:
= \left[e^{x-1}\right]_{2}^{3}
= e^{3-1} - e^{2-1}
= e^{2} - e^{1}
= e^{2} - e
Adım 3 — (c) \displaystyle \int_{0}^{1} x^{\pi e}\,dx
Kurulum: integrali yaz.
\int_{0}^{1} x^{\pi e}\,dx
Hesaplama:
= \left[\frac{x^{\pi e + 1}}{\pi e + 1}\right]_{0}^{1}
= \frac{1^{\pi e + 1}}{\pi e + 1} - \frac{0^{\pi e + 1}}{\pi e + 1}
= \frac{1}{\pi e + 1} - 0
= \frac{1}{\pi e + 1}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Potens İntegrali
- Tanım: Üstel ifadeli bir integrandın integralini alırken kuvveti 1 artırıp bölme yapılır.
- Bu problemde: x^{\pi-1} ve x^{\pi e} için kullanıldı.
2. Üstel Fonksiyon İntegrali
- Tanım: e^{u} fonksiyonunun integrali kendisidir.
- Bu problemde: e^{x-1} integrali doğrudan e^{x-1} olarak alındı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kuvvet kuralını yanlış uygulama
- Yanlış: Kuvveti azaltıp bölmek yerine doğrudan x^{\pi-1}/(\pi-1) gibi almak.
- Doğru: Kuvveti 1 artırıp yeni üs ile bölmek: \dfrac{x^{\pi}}{\pi}.
- Neden yanlış: İntegral alırken üs +1 yapılması gerekir.
- Düzeltme: Formülü doğru şekilde uygula: \int x^{a}dx=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
a) \displaystyle \frac{2^{\pi}-1}{\pi}
b) \displaystyle e^{2}-e
c) \displaystyle \frac{1}{\pi e + 1}
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?