Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Üs Kuralı: $$\int x^{n},dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\neq -1)$$
Sabit Çarpan Kuralı: $$\int a\cdot f(x),dx = a\int f(x),dx$$
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — (a) \displaystyle \int\bigl(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}\bigr)\,dx işlemi
Birinci terim:
3\int x^{1/2}\,dx
=3\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}
=3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}
=3\cdot\frac{2}{3}\,x^{3/2}
=2x^{3/2}
İkinci terim:
-2\int x^{1/3}\,dx
=-2\cdot\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}
=-2\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}
=-2\cdot\frac{3}{4}\,x^{4/3}
=-\frac{3}{2}x^{4/3}
Sonuç olarak (a) için toplam:
2x^{3/2}-\frac{3}{2}x^{4/3}+C
Adım 2 — (b) \displaystyle \int\bigl(\sqrt{x^{3}}-5\sqrt{x^{2}}\bigr)\,dx işlemi
Not: \sqrt{x^{3}}=x^{3/2}. Ayrıca genelde \sqrt{x^{2}}=|x| olur; burada varsayılan olarak x\ge0 alınıyorsa \sqrt{x^{2}}=x olarak kullanılır.
Birinci terim:
\int x^{3/2}\,dx
=\frac{x^{3/2+1}}{3/2+1}
=\frac{x^{5/2}}{5/2}
=\frac{2}{5}x^{5/2}
İkinci terim:
-5\int x\,dx
=-5\cdot\frac{x^{2}}{2}
=-\frac{5}{2}x^{2}
Sonuç olarak (b) için toplam:
\frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{5}{2}x^{2}+C
Adım 3 — (c) \displaystyle \int\bigl(2\sqrt[7]{x}+9\sqrt[5]{x^{4}}\bigr)\,dx işlemi
Burada \sqrt[7]{x}=x^{1/7} ve \sqrt[5]{x^{4}}=x^{4/5}.
Birinci terim:
2\int x^{1/7}\,dx
=2\cdot\frac{x^{1/7+1}}{1/7+1}
=2\cdot\frac{x^{8/7}}{8/7}
=2\cdot\frac{7}{8}\,x^{8/7}
=\frac{7}{4}x^{8/7}
İkinci terim:
9\int x^{4/5}\,dx
=9\cdot\frac{x^{4/5+1}}{4/5+1}
=9\cdot\frac{x^{9/5}}{9/5}
=9\cdot\frac{5}{9}\,x^{9/5}
=5x^{9/5}
Sonuç olarak (c) için toplam:
\frac{7}{4}x^{8/7}+5x^{9/5}+C
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
(a) \displaystyle 2x^{3/2}-\frac{3}{2}x^{4/3}+C
(b) \displaystyle \frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{5}{2}x^{2}+C
(c) \displaystyle \frac{7}{4}x^{8/7}+5x^{9/5}+C
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Üs Kuralı
- Tanım: \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C
- Bu problemde: Tüm terimler bu kural kullanılarak integre edildi.
- Sabit Çarpan Kuralı
- Tanım: Sabit bir çarpan integral dışında tutulur.
- Bu problemde: 3, −2, −5, 2, 9 gibi sabitler çarpan olarak işlendi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kareköklü ifadelerin yanlış ele alınması
- Yanlış: \sqrt{x^{2}}=x her zaman kabul edilir.
- Doğru: \sqrt{x^{2}}=|x|.
- Neden yanlış: Negatif x değerleri için işaret farklıdır.
- Düzeltme: Sınır verilmeyen problemlerde genelde x\ge0 kabul edilir veya mutlak değer notu eklenir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
ÇÖZÜM ADIMLARI: