Soru:
3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}
\sqrt{x^3} - 5\sqrt[3]{x^2}
2\sqrt{x^7} - 9∥x^4
x^2 - 1
ex^-1
x^1
x^{\pi}-1
Soru Fotoğrafı:
İntegral Sonuçlarının Sıralanması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Güç fonksiyonlarının integrali: \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n \neq -1
- Üstel fonksiyonların integrali: \int e^{ax} dx = \frac{e^{ax}}{a} + C
- Kök fonksiyonları üs şeklinde yazılarak integral alınır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İlk ifadeyi üs şeklinde yaz
3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x} = 3x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{3}}
Adım 2 — Her terimin integralini ayrı hesapla
\int 3x^{\frac{1}{2}} dx = 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}}
\int -2x^{\frac{1}{3}} dx = -2 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = -2 \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}}
Adım 3 — Toplam sonucu yaz
2x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C
Adım 4 — İkinci ifadeyi üs olarak yaz ve integral al
\sqrt{x^3} - 5\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{2}{3}}
İntegral:
\int x^{\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}
\int -5 x^{\frac{2}{3}} dx = -5 \cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = -5 \cdot \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} = -3 x^{\frac{5}{3}}
Sonuç:
\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{5}{3}} + C
Adım 5 — Üçüncü ifadeyi üs olarak yaz ve integral al
2\sqrt{x^7} - 9\sqrt[5]{x^4} = 2 x^{\frac{7}{2}} - 9 x^{\frac{4}{5}}
İntegral:
\int 2 x^{\frac{7}{2}} dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{9}{2}}}{\frac{9}{2}} = 2 \cdot \frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} = \frac{4}{9} x^{\frac{9}{2}}
\int -9 x^{\frac{4}{5}} dx = -9 \cdot \frac{x^{\frac{9}{5}}}{\frac{9}{5}} = -9 \cdot \frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} = -5 x^{\frac{9}{5}}
Sonuç:
\frac{4}{9} x^{\frac{9}{2}} - 5 x^{\frac{9}{5}} + C
Adım 6 — Dördüncü ifade: x^2 - 1
\int (x^2 - 1) dx = \frac{x^3}{3} - x + C
Adım 7 — Beşinci ifade: e x^{-1}
Burada e sabittir (Euler sayısı).
\int e x^{-1} dx = e \int x^{-1} dx = e \ln |x| + C
Adım 8 — Altıncı ifade: x^1
\int x^1 dx = \frac{x^2}{2} + C
Adım 9 — Yedinci ifade: x^\pi -1
\int (x^\pi - 1) dx = \frac{x^{\pi + 1}}{\pi + 1} - x + C
CEVAP:
İntegraller sonuçları sırasıyla:
- 2x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C
- \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{5}{3}} + C
- \frac{4}{9} x^{\frac{9}{2}} - 5 x^{\frac{9}{5}} + C
- \frac{x^3}{3} - x + C
- e \ln |x| + C
- \frac{x^2}{2} + C
- \frac{x^{\pi + 1}}{\pi + 1} - x + C
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Verilen ifadelerin hangi integrallerini hesaplamamı istiyorsunuz? Sembolleri doğrulayın
CEVAP: Aşağıdaki noktaları netleştirir misiniz?
Açıklama: Mesajınızda birkaç sembol belirsiz görünüyor. Her bir satır için benim anladığım biçimi yazıyorum — doğruysa onaylayın, yanlışsa düzeltin.
- 1. Benim anladığım: 3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x} — yani \int(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x})\,dx mı?
- 2. Benim anladığım: \sqrt{x^3}-5\sqrt[3]{x^2} — yani \int(\sqrt{x^3}-5\sqrt[3]{x^2})\,dx mı?
- 3. Benim anladığım (burada belirsiz): 2\sqrt{x^7}-9\sqrt[?]{x^4}. Üçüncü terimdeki kök derecesi ve işaret nedir? (ör. 2\sqrt{x^7}-9\sqrt[3]{x^4} veya 2\sqrt{x^7}+9\sqrt[5]{x^4} gibi)
- 4. Benim anladığım: x^2-1 — bu \int (x^2-1)\,dx veya \int_{a}^{b} (x^2-1)\,dx gibi belirli integral mi?
- 5. Benim anladığım: e x^{-1} yani e\cdot x^{-1}=\dfrac{e}{x} mı, yoksa e^{x^{-1}} (yani e^{1/x}) mi?
- 6. Benim anladığım: x^1 yani basitçe x mı?
- 7. Benim anladığım: x^{\pi-1} mı yoksa x^{\pi}-1 mi? (Soru görselinde muhtemelen x^{\pi-1} var)
Talep: Lütfen her satır için doğru ifadenin tam LaTeX şeklini veya kısa açıklamasını yazın (ör. “3: 2\sqrt{x^7}-9\sqrt[3]{x^4}”, “5: e^{1/x}” vs “5: e\cdot x^{-1}”). Onaylayınca hemen çözümü adım adım gösteririm.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?