Soru:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
(i)
\int (3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}) \, dx
(ii)
\int (\sqrt[3]{x^3} - 5\sqrt{x^2}) \, dx
(iii)
\int (2\sqrt[7]{x^7} - 9\sqrt[5]{x^4}) \, dx
Soru Fotoğrafı:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
İntegral alma işlemi için temel formül:
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
(i)
\int (3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}) \, dx
Adım 1 — Üsleri aç:
3\sqrt{x} = 3x^{1/2}, \quad 2\sqrt[3]{x} = 2x^{1/3}
Adım 2 — İntegralleri al:
\int 3x^{1/2} \, dx = 3 \int x^{1/2} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{1/2 + 1}}{\frac{1}{2} + 1} = 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = 2x^{3/2}
\int -2x^{1/3} \, dx = -2 \int x^{1/3} \, dx = -2 \cdot \frac{x^{1/3 + 1}}{\frac{1}{3} + 1} = -2 \cdot \frac{x^{4/3}}{\frac{4}{3}} = -2 \cdot \frac{3}{4} x^{4/3} = -\frac{3}{2} x^{4/3}
Adım 3 — Sonucu yaz:
\int (3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}) \, dx = 2x^{3/2} - \frac{3}{2}x^{4/3} + C
(ii)
\int (\sqrt[3]{x^3} - 5\sqrt{x^2}) \, dx
Adım 1 — Üsleri aç ve sadeleştir:
\sqrt[3]{x^3} = (x^3)^{1/3} = x^{3 \times \frac{1}{3}} = x^1 = x
5\sqrt{x^2} = 5(x^2)^{1/2} = 5x^{2 \times \frac{1}{2}} = 5x^1 = 5x
Adım 2 — İfade basitleşir:
\int (x - 5x) \, dx = \int -4x \, dx
Adım 3 — İntegrali al:
\int -4x \, dx = -4 \int x \, dx = -4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2
Adım 4 — Sonucu yaz:
\int (\sqrt[3]{x^3} - 5\sqrt{x^2}) \, dx = -2x^2 + C
(iii)
\int (2\sqrt[7]{x^7} - 9\sqrt[5]{x^4}) \, dx
Adım 1 — Üsleri aç:
2\sqrt[7]{x^7} = 2(x^7)^{1/7} = 2x^{7 \times \frac{1}{7}} = 2x^1 = 2x
9\sqrt[5]{x^4} = 9(x^4)^{1/5} = 9x^{4 \times \frac{1}{5}} = 9x^{4/5}
Adım 2 — İntegrali al:
\int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^{2}}{2} = x^2
\int -9x^{4/5} \, dx = -9 \int x^{4/5} \, dx = -9 \cdot \frac{x^{4/5 +1}}{\frac{4}{5} +1} = -9 \cdot \frac{x^{9/5}}{\frac{9}{5}} = -9 \cdot \frac{5}{9} x^{9/5} = -5x^{9/5}
Adım 3 — Sonucu yaz:
\int (2\sqrt[7]{x^7} - 9\sqrt[5]{x^4}) \, dx = x^{2} - 5x^{9/5} + C
CEVAP:
(i) \displaystyle 2x^{3/2} - \frac{3}{2}x^{4/3} + C
(ii) \displaystyle -2x^{2} + C
(iii) \displaystyle x^{2} - 5x^{9/5} + C
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Güç kuralı: \displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C ( n\neq -1 )
- Kökleri üslere çevirme: \sqrt[m]{x^k}=x^{k/m}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — (i) \displaystyle \int (3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x})\,dx
Kurulum:
\displaystyle \int \bigl(3x^{1/2}-2x^{1/3}\bigr)\,dx
Birinci terim:
3\displaystyle \int x^{1/2}\,dx
=3\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}
=3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}
=3\cdot\frac{2}{3}\,x^{3/2}
=2x^{3/2}
İkinci terim:
-2\displaystyle \int x^{1/3}\,dx
=-2\cdot\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}
=-2\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}
=-2\cdot\frac{3}{4}\,x^{4/3}
=-\frac{3}{2}x^{4/3}
Toplam:
2x^{3/2}-\frac{3}{2}x^{4/3}+C
Adım 2 — (ii) \displaystyle \int \bigl(\sqrt[3]{x^3}-5\sqrt{x^2}\bigr)\,dx
Kurulum:
\displaystyle \int \bigl(x-5\sqrt{x^2}\bigr)\,dx
Not: \sqrt{x^2}=|x|. Aşağıdaki hesaplama x\ge 0 varsayımıyla yapılmıştır. (Genel çözüm parça parça ele alınır; x<0 için sonuç farklıdır — aşağıda belirtildi.)
Birinci terim:
\displaystyle \int x\,dx
=\frac{x^{2}}{2}
İkinci terim ( x\ge 0 için \sqrt{x^2}=x ):
-5\displaystyle \int x\,dx
=-5\cdot\frac{x^{2}}{2}
=-\frac{5}{2}x^{2}
Toplam ( x\ge 0 ):
\frac{x^{2}}{2}-\frac{5}{2}x^{2}
=-2x^{2}+C
Not (tam ayrık durum):
- Eğer tüm gerçek x için integral isteniyorsa:
- x\ge 0 için integral -2x^{2}+C
- x<0 için \sqrt{x^2}=-x olduğundan integrand x-5(-x)=6x olur ve integral 3x^2+C olur.
Adım 3 — (iii) \displaystyle \int \bigl(2\sqrt[7]{x^7}-9\sqrt[5]{x^4}\bigr)\,dx
Kurulum:
\displaystyle \int \bigl(2x-9x^{4/5}\bigr)\,dx
Birinci terim:
2\displaystyle \int x\,dx
=2\cdot\frac{x^{2}}{2}
=x^{2}
İkinci terim:
-9\displaystyle \int x^{4/5}\,dx
=-9\cdot\frac{x^{4/5+1}}{4/5+1}
=-9\cdot\frac{x^{9/5}}{9/5}
=-9\cdot\frac{5}{9}\,x^{9/5}
=-5x^{9/5}
Toplam:
x^{2}-5x^{9/5}+C
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Güç kuralı
- Tanım: \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C
- Bu problemde: Kök ifadeleri üslere çevirip güç kuralı uygulandı.
- Mutlak değer ve karekök
- Tanım: \sqrt{x^2}=|x|
- Bu problemde: (ii) için dikkat; genelde x\ge 0 varsayımıyla \sqrt{x^2}=x alındı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kök içindeki ifadeyi doğrudan x olarak almak
- Yanlış: Her zaman \sqrt{x^2}=x demek.
- Doğru: \sqrt{x^2}=|x|.
- Neden yanlış: Negatif x’ler için işaret değişir.
- Düzeltme: Eğer domain belirtilmemişse parça parça (x≥0 ve x<0) çözümü verin.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
(i) \displaystyle 2x^{3/2}-\frac{3}{2}x^{4/3}+C
(ii) \displaystyle -2x^{2}+C (Not: tüm gerçek x için parça parça çözüm gerekir; x<0 için sonuç 3x^{2}+C.)
(iii) \displaystyle x^{2}-5x^{9/5}+C
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!