Soru:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
(a)
\int (3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}) \, dx
(b)
\int (\sqrt[3]{x^3} - 5\sqrt{x^2}) \, dx
(c)
\int (2\sqrt[7]{x} - 9\sqrt[4]{x^4}) \, dx
Soru Fotoğrafı:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
(a)
\int (3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}) \, dx = \int \left(3x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{3}}\right) dx
- İlk terim için:
\int 3x^{\frac{1}{2}} dx = 3 \int x^{\frac{1}{2}} dx = 3 \times \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = 3 \times \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = 3 \times \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}}
- İkinci terim için:
\int -2x^{\frac{1}{3}} dx = -2 \int x^{\frac{1}{3}} dx = -2 \times \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} = -2 \times \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = -2 \times \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}}
- Sonuç:
2x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C
(b)
\int (\sqrt[3]{x^3} - 5\sqrt{x^2}) \, dx = \int (x - 5 x) dx = \int (x - 5x) dx = \int (-4x) dx
- İşlem:
\int -4x dx = -4 \times \frac{x^{1+1}}{1+1} = -4 \times \frac{x^2}{2} = -2 x^2 + C
(c)
\int (2\sqrt[7]{x} - 9\sqrt[4]{x^4}) dx = \int \left(2 x^{\frac{1}{7}} - 9 x^{\frac{4}{4}} \right) dx = \int (2 x^{\frac{1}{7}} - 9 x^{1}) dx
- İlk terim:
2 \times \frac{x^{\frac{1}{7}+1}}{\frac{1}{7}+1} = 2 \times \frac{x^{\frac{8}{7}}}{\frac{8}{7}} = 2 \times \frac{7}{8} x^{\frac{8}{7}} = \frac{7}{4} x^{\frac{8}{7}}
- İkinci terim:
-9 \times \frac{x^{1+1}}{1+1} = -9 \times \frac{x^2}{2} = -\frac{9}{2} x^2
- Sonuç:
\frac{7}{4} x^{\frac{8}{7}} - \frac{9}{2} x^2 + C
CEVAP:
\text{(a) } 2x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C
\text{(b) } -2 x^2 + C
\text{(c) } \frac{7}{4} x^{\frac{8}{7}} - \frac{9}{2} x^2 + C
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Güç Kuralı: $$\int x^n,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\neq -1)$$
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — (a)
İntegral kurulumu:
\int\,(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x})\,dx
Birinci terim:
3\int x^{1/2}\,dx
= $$3\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}$$
= $$3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}$$
= $$3\cdot\frac{2}{3}\cdot x^{3/2}$$
= $$2x^{3/2}$$
İkinci terim:
-2\int x^{1/3}\,dx
= $$-2\cdot\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}$$
= $$-2\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}$$
= $$-2\cdot\frac{3}{4}\cdot x^{4/3}$$
= $$-\frac{3}{2}x^{4/3}$$
Adım 2 — (b)
İntegral kurulumu:
\int\left(\sqrt[3]{x^3}-5\sqrt{x^2}\right)\,dx
Not: $$\sqrt{x^2}=|x|$$ fakat genelde bu tip alıştırmalarda x\ge 0 varsayılır; burada x\ge 0 alınmıştır.
Birinci terim:
\int \sqrt[3]{x^3}\,dx
= $$\int x,dx$$
= $$\frac{x^{2}}{2}$$
İkinci terim:
-5\int \sqrt{x^2}\,dx
= $$-5\int x,dx\quad(\text{varsayım: }x\ge 0)$$
= $$-5\cdot\frac{x^{2}}{2}$$
= $$-\frac{5}{2}x^{2}$$
Adım 3 — (c)
İntegral kurulumu:
\int\left(2\sqrt[7]{x}-9\sqrt[4]{x^4}\right)\,dx
Not: $$\sqrt[4]{x^4}=|x|$$ fakat genelde x\ge 0 varsayımıyla x alınır; burada x\ge 0 kabul edilmiştir.
Birinci terim:
2\int x^{1/7}\,dx
= $$2\cdot\frac{x^{1/7+1}}{1/7+1}$$
= $$2\cdot\frac{x^{8/7}}{8/7}$$
= $$2\cdot\frac{7}{8}\cdot x^{8/7}$$
= $$\frac{7}{4}x^{8/7}$$
İkinci terim:
-9\int x\,dx
= $$-9\cdot\frac{x^{2}}{2}$$
= $$-\frac{9}{2}x^{2}$$
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
(a) \;2x^{3/2}-\dfrac{3}{2}x^{4/3}+C
(b) \;\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{5}{2}x^{2}+C \;=\; -2x^{2}+C (varsayım: x\ge 0)
(c) \;\dfrac{7}{4}x^{8/7}-\dfrac{9}{2}x^{2}+C (varsayım: x\ge 0)
TEMEL KAVRAMLAR:
- Güç Kuralı
- Tanım: \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C
- Bu problemde: Tüm terimler bu kural ile entegre edildi.
- Köklerin doğru yorumu
- Tanım: Even köklerin sonucu her zaman non-negatif olup \sqrt{x^2}=|x| gibi ifadeler mutlak değeri içerir.
- Bu problemde: Basitlik için genelde x\ge 0 varsayımı yapıldı; aksi belirtildiğinde mutlak değer dikkate alınmalıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kökleri doğrudan x saymak
- Yanlış: \sqrt{x^2}=x her zaman doğru kabul edilmesi.
- Doğru: \sqrt{x^2}=|x|
- Neden yanlış: Negatif x değerleri için işaret değişir.
- Düzeltme: Domain belirtilmemişse mutlak değeri kullan veya x\ge 0 varsayımını açıkça belirt.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!