Cevap A
Soru Analizi ve Çözüm Detayları
Soru 24:
Dikdörtgen şeklindeki bir kağıdın üst ve alt kenarlarından 1,5 cm, sağ ve sol kenarlarından 1 cm boşluk bırakılarak kalan kısma yazı yazılacaktır. Yazı yazılabilecek alan 24 cm² olduğuna göre kağıdın alanı en az kaç cm²’dir?
Çözüm
-
Verilen bilgileri ifade edelim:
- Kağıt boyutları:
- Uzunluk: x
- Genişlik: y
- Boşluklar:
- Üst ve alt boşluk toplamı: 1.5 + 1.5 = 3 cm
- Sağ ve sol boşluk toplamı: 1 + 1 = 2 cm
- Kağıt boyutları:
-
Yazı yazılabilecek alan:
Alan formülü:(x - 3) \cdot (y - 2) = 24 -
Dikdörtgenin toplam alanı ise:
x \cdot y
Amacımız: x \cdot y değerini en küçük bulmak.
Adım Adım Çözüm
1. Faktörleri Bulma
İlk olarak (x - 3) ve (y - 2) çarpımı için $24$’ün pozitif çarpanlarını değerlendirelim:
(x - 3, y - 2) = (1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6)
2. Dikdörtgen Kağıt Boyutlarını Bulma
Her bir durumda x ve y değerlerini hesaplarken boşlukları ekliyoruz:
- Birinci durum: (x - 3 = 4, y - 2 = 6)
- x = 4 + 3 = 7
- y = 6 + 2 = 8
- Alan:x \cdot y = 7 \cdot 8 = 56 \, \text{cm²}
Minimum Alanı Kontrol
Yukarıdaki analizde minimum kağıt alanı 54 \, \text{cm²} olarak bulunabilir. Şıklardan doğru cevap A seçeneğidir.
Cevap:
A) 54 cm²
Dikdörtgen şeklindeki bir kağıdın alanı en az kaç cm² olur?
Soru Özeti:
- Dikdörtgen şeklindeki bir kağıdın üst ve alt kenarlarından 1,5 cm, sağ ve sol kenarlarından 1 cm boşluk bırakılıyor.
- Kalan orta alana yazı yazılacak ve bu alan 24 cm².
- Kağıdın alanı en az kaç cm² olabilir?
Çözüm Adımları
1. Tanımlama ve Bilinmeyenlerin Belirlenmesi
- Kağıdın boyutları: X cm ve Y cm (büyük dikdörtgen)
- Yazı yazılabilecek alanın boyutları:
- Uzunluk: X - 2 \times 1 (sağ-sol kenar boşlukları)
- Genişlik: Y - 2 \times 1.5 (üst-alt kenar boşlukları)
- Yazı alanı:(X - 2)(Y - 3) = 24
2. Kağıdın Alanı
- Kağıdın tamamının alanı: A = X \times Y
3. Alanı Minimize Etme
- Kağıdın alanı en az olsun istiyoruz. Bunun için A = X \times Y en küçük olmalı.
- Yazı alanı: (X-2)(Y-3) = 24
- Buradan Y-3 = \frac{24}{X-2} olur. Yerine koyalım:A = X \times Y = X \left( \frac{24}{X-2} + 3 \right )A = X \left( \frac{24}{X-2} \right ) + 3XA = \frac{24X}{X-2} + 3X
4. Minimumun Hesaplanması (Türev ile)
Minimum alan için, X’in değerini minimize edecek şekilde kullanacağız.
Ama X-2 > 0 ve X > 2 olmak zorunda, çünkü ölçüler pozitif!
Ayrıca Y = \frac{24}{X-2} + 3 olduğundan Y > 3 gereklidir.
Şıklardan değerleri deneyerek de minimumu bulabiliriz:
5. Şıklardan Deneme (Pratik Yöntem)
Yazı yazılan kısmın kenarları çarpımı 24 olmalı:
- X-2 ve Y-3: çarpımları 24, pozitif tam sayılar olabilir!
Çarpanları:- 1 ve 24
- 2 ve 12
- 3 ve 8
- 4 ve 6
- 6 ve 4
- 8 ve 3
- 12 ve 2
- 24 ve 1
Her bir çifti için X ve Y hesabı:
| X-2 | Y-3 | X | Y | Kağıt Alanı X \times Y |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 6 | 6 | 9 | 54 |
| 6 | 4 | 8 | 7 | 56 |
| 3 | 8 | 5 | 11 | 55 |
| 8 | 3 | 10 | 6 | 60 |
| 12 | 2 | 14 | 5 | 70 |
| 2 | 12 | 4 | 15 | 60 |
| 1 | 24 | 3 | 27 | 81 |
| 24 | 1 | 26 | 4 | 104 |
En küçük değer: 54
Cevap ve Sonuç
- Kağıdın alanı en az 54\ \text{cm}^2 olabilir.
- Doğru cevap: A şıkkı (54).
Ek Bilgi: Neden bu şekilde çözüyoruz?
- Yazı yazılacak alan sabitken, dıştaki toplam alanın en küçük değerini bulmak için kenarları birbirine yakın (daha kareye yakın) seçmek genellikle minimum alanı verir; bu nedenle çarpanları denemek hızlı bir yöntemdir.
- Bu soruda X-2 = 4, Y-3=6 (veya tersi) en küçük alanı sağlıyor.
Kısa Özet:
- Kağıdın boyutları 6 \times 9 olmalı.
- Kağıdın minimum alanı: 54 cm²
Dikdörtgen şeklindeki bir kağıdın alanı en az kaç cm² olur?
Soru:
Dikdörtgen şeklindeki bir kağıdın üst ve alt kenarlarından 1,5 cm, sağ ve sol kenarlarından 1 cm boşluk bırakılarak kalan kısma yazı yazılacaktır. Yazı yazılabilen alan 24 cm² olduğuna göre kağıdın alanı en az kaç cm² olur?
İçindekiler
1. Sorunun Analizi ve Değişkenlerin Tanımı
- Kağıdın boyutları:
- Uzun kenarı: X
- Kısa kenarı: Y
- Yazı yazılan alan:
- Üstten ve alttan 1,5 cm boşluk: Yani uzunluk Y-3 olur (1,5 + 1,5 = 3)
- Sağdan ve soldan 1 cm boşluk: Yani genişlik X-2 olur (1+1=2)
- Şart:
- (X-2) \cdot (Y-3) = 24 cm² (yazı alanı)
- Toplam kağıt alanı: X \cdot Y
- Amaç: X \cdot Y en küçük olmalı.
2. Matematiksel Modelleme ve Denklemlerin Kurulması
- (X-2) \cdot (Y-3) = 24
Bu denklemden Y’yi X’e göre ifade edelim:
(X-2)\cdot (Y-3) = 24
\rightarrow Y-3 = \dfrac{24}{X-2}
\rightarrow Y = \dfrac{24}{X-2} + 3
Kağıdın alanı:
A = X \cdot Y = X \left[ \dfrac{24}{X-2} + 3 \right]
Şimdi bu ifadeyi sadeleştirelim:
A = \dfrac{24X}{X-2} + 3X
3. En Az Alan Hesabı (Adım Adım)
Kağıdın boyutları tam sayı olmalı (aksi belirtilmediği sürece). Öyleyse (X-2), 24’ü bölen bir sayı olmalı. Tek tek deneyelim:
| X | Y = \frac{24}{X-2} + 3 | A = X \cdot Y |
|---|---|---|
| 4 | 24/2 +3 = 12 + 3 = 15 | 4 \cdot 15 = 60 |
| 6 | 24/4 +3 = 6 +3 = 9 | 6 \cdot 9 = 54 |
| 8 | 24/6 +3 = 4 +3=7 | 8 \cdot 7 = 56 |
| 10 | 24/8 +3 = 3 +3=6 | 10 \cdot 6 = 60 |
| 14 | 24/12 +3 = 2+3=5 | 14 \cdot 5 = 70 |
Başka uygun tam sayı yok çünkü X’in X-2’si 24’ün böleni olmalı: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Sonuçlar:
- Kağıdın en küçük alanı 54 cm²’dir.
Tablo ile Değerlerin Özeti
| X (Uzunluk) | Y (Genişlik) | Alan (A) |
|---|---|---|
| 6 | 9 | 54 cm² |
| 4 | 15 | 60 cm² |
| 8 | 7 | 56 cm² |
| 10 | 6 | 60 cm² |
| 14 | 5 | 70 cm² |
En küçük alan: 54 cm² (X=6, Y=9)
5. Cevabın Özeti
Yazı yazılabilecek alanın 24 cm² olması ve belirtilen boşluklarla, kağıdın alanı en az 54 cm² olur.
-
En küçük alan ölçüleri:
-
X = 6 cm, Y = 9 cm
-
6 \times 9 = 54 cm²
-
Cevap:
A) 54 cm²
| Seçenek | Alan (cm²) |
|---|---|
| A | 54 |
| B | 48 |
| C | 45 |
| D | 42 |
| E | 36 |
Doğru yanıt: A şıkkı, yani 54 cm²’dir.
Sonuç ve Özet
Kağıdın en az alanı 54 cm² olur. Özetle, verilen yazı yazılabilir alan ve kenar boşlukları dikkate alınarak, en küçük kağıt boyutu 6x9 cm² olup, bu da 54 cm² yapar.
Dikdörtgen şekilli kağıt probleminin çözümü
Answer:
Bu soruda, dikdörtgen biçimindeki kağıdın kenar boşlukları şu şekilde verilmiş:
- Üst ve alt kenarlardan 1,5 cm boşluk.
- Sağ ve sol kenarlardan 1 cm boşluk.
Kalan (iç) bölgenin alanı 24 cm² olarak verilmiş. Bu iç bölge, kağıdın gerçek genişliği ve yüksekliğinden kenar boşlukları çıkarıldığında elde edilir:
- Genişlik: Kağıdın toplam genişliği = W, iç bölgedeki genişlik = (W - 2 \times 1) = (W - 2).
- Yükseklik: Kağıdın toplam yüksekliği = H, iç bölgedeki yükseklik = (H - 2 \times 1{,}5) = (H - 3).
Bu iç bölgenin alanı 24 cm² olduğuna göre,
(W-2)(H-3) = 24.
Bize kağıdın toplam alanının en küçük değeri soruluyor. Yani,
\min \bigl(W \times H\bigr) \quad \text{koşulu ile} \quad (W-2)(H-3) = 24.
Bu tür sorularda, (W-2)(H-3) = 24 eşitliğindeki çarpanlar incelenerek W \times H değerinin en küçük olduğu kombinasyon bulunur. Mantıken, çarpanlar arasındaki fark ne kadar küçükse toplamın (ve dolayısıyla alanın) da o kadar küçük çıkma eğilimindedir.
24’ün pozitif tam çarpan çiftlerine bakalım (iç kısım boyutları olarak düşünebiliriz):
- (1, 24) \implies W=3, H=27 \implies \text{Alan}=3\times 27=81.
- (2, 12) \implies W=4, H=15 \implies \text{Alan}=4\times 15=60.
- (3, 8) \implies W=5, H=11 \implies \text{Alan}=5\times 11=55.
- (4, 6) \implies W=6, H=9 \implies \text{Alan}=6\times 9=54.
Görüldüğü gibi, en küçük alan 54 cm² olarak bulunuyor. Bu da sorudaki A) 54 seçeneğini doğrular.