-x+1) dx
integralinin eşitini bulunuz.
Soru Fotoğrafı:
\int (x^2 + 2x)^4 \cdot (x + 1) \, dx İntegralinin Çözümü
KULLANILAN FORMÜL:
Bu soruda değişken değiştirme (u-dönüşümü) yöntemi kullanılır. Temel integral alma kuralı şöyledir:
\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişken Belirleme
İntegral içindeki karmaşık ifadenin tabanına u diyelim:
u = x^2 + 2x
Adım 2 — Diferansiyel Hesaplama
Her iki tarafın türevini alarak du ifadesini bulalım:
\frac{du}{dx} = 2x + 2 \implies du = (2x + 2) \, dx
Burayı düzenlersek:
du = 2(x + 1) \, dx \implies \frac{du}{2} = (x + 1) \, dx
Adım 3 — İntegrali u Cinsinden Yazma
Bulduğumuz değerleri ana integralde yerine koyalım:
\int u^4 \cdot \frac{du}{2}
Sabit sayıyı dışarı alalım:
\frac{1}{2} \int u^4 \, du
Adım 4 — İntegral Alma ve Geri Dönüşüm
İntegrali alalım:
\frac{1}{2} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{u^5}{10} + C
Şimdi u yerine başlangıçtaki x^2 + 2x ifadesini tekrar yazalım:
\frac{(x^2 + 2x)^5}{10} + C
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
\frac{(x^2 + 2x)^5}{10} + C
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Değişken Değiştirme
- Tanım: Bir integralin içinde bir fonksiyon ve o fonksiyonun türevi (veya türevinin katı) bulunuyorsa kullanılan yöntemdir.
- Bu problemde: x^2+2x’in türevi olan 2x+2, sorudaki x+1 ifadesinin tam 2 katıdır.
2. İntegral Sabiti (C)
- Tanım: Belirsiz integrallerde türev alındığında yok olan sabit sayıyı temsil eder.
- Bu problemde: İşlem sonunda her zaman eklenmelidir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Katsayıyı Unutmak
- Yanlış: du = (x+1)dx olarak alıp paydaya 2 yazmamak.
- Doğru: Türevden gelen 2 katsayısını du/2 şeklinde karşıya geçirmek.
- Neden yanlış: Sonuç 2 kat hatalı çıkar.
u Değerini Yerine Koymamak
- Yanlış: Sonucu \frac{u^5}{10} + C olarak bırakmak.
- Doğru: Soruda verilen x değişkenine geri dönmek.
Bu çözümde değişken değiştirme yöntemini pekiştirdik. Benzer bir yöntemle \int (x^2-3x)^5 \cdot (2x-3) \, dx sorusunu da çözmemi ister misin?