$\int \frac{(x+1)^2}{(x-1)^4} dx$ İntegralinde Değişken Değiştirme

YKS TYT
1

(x+1)°
dx integraline u=
hangisi elde edilir?
D)
değişimi uygulandiğında aşağıdaki integrallerden
B) -2/u’du
du
değişken
C)

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 52.9 KB

2

\int \frac{(x+1)^2}{(x-1)^4} dx İntegralinde Değişken Değiştirme

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:

  1. Bölümün Türevi: \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - g' \cdot f}{g^2}
  2. Değişken Değiştirme: u = g(x) ise du = g'(x)dx

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen İntegrali Düzenleme
Soruda verilen integrali, istenen u değişkenine benzetmek için üsleri parçalayalım:

\int \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2 \cdot (x-1)^2} dx = \int \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^2 \cdot \frac{1}{(x-1)^2} dx

Adım 2 — Değişken Değiştirme ve Diferansiyel Hesaplama
Soruda u = \frac{x+1}{x-1} dönüşümü yapmamız istenmiş. Her iki tarafın türevini alalım:

du = \left[ \frac{1 \cdot (x-1) - 1 \cdot (x+1)}{(x-1)^2} \right] dx
du = \frac{x - 1 - x - 1}{(x-1)^2} dx \implies du = \frac{-2}{(x-1)^2} dx

Buradan \frac{1}{(x-1)^2} dx ifadesini yalnız bırakırsak:

\frac{1}{(x-1)^2} dx = -\frac{1}{2} du

Adım 3 — Değerleri İntegralde Yerine Yazma
Şimdi Adım 1’deki düzenlenmiş integralde u ve du karşılıklarını yerleştirelim:

\int (\underbrace{\frac{x+1}{x-1}}_{u})^2 \cdot \underbrace{\frac{1}{(x-1)^2} dx}_{-\frac{1}{2} du}
\int u^2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) du

Katsayıyı integral dışına aldığımızda sonuç:

-\frac{1}{2} \int u^2 du

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) -\frac{1}{2} \int u^2 du
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Değişken Değiştirme (Substitution)

  • Tanım: Karmaşık görünen bir integrali, bir kısmına u diyerek daha basit bir forma dönüştürme yöntemidir.
  • Bu problemde: Rasyonel ifadeyi basitleştirmek için \frac{x+1}{x-1} ifadesi u olarak tanımlanmıştır.

2. Diferansiyel (du) İlişkisi

  • Tanım: Seçilen u değişkeninin x’e göre türevi alınarak, integraldeki dx parçasının yeni değişken cinsinden değeri bulunur.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Bölüm Türevi Hatası

  • Yanlış: u = \frac{x+1}{x-1} türevini alırken paydanın karesini almayı unutmak veya payın türevini yanlış hesaplamak.
  • Doğru: Bölüm türevi kuralı eksiksiz uygulanmalıdır: \frac{-2}{(x-1)^2}dx.

:cross_mark: Katsayı Unutma

  • Yanlış: du içindeki -2 çarpanını karşıya -\frac{1}{2} olarak atmayı unutup sonucu direkt \int u^2 du bulmak.

Bu integralin çözümünden sonra elde edilen sonucun integralini almamı ister misin?