$\int \frac{(x+1)^2}{(x-1)^4} dx$ İntegralinde Değişken Değiştirme Çözümü

YKS TYT
1

dx integraline u
degişimi uygulandiğında aşağidaki integrallerden
hangisi elde edilir?
B)-2u’au
degisken
-du
E)- du

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 28.6 KB

2

\int \frac{(x+1)^2}{(x-1)^4} dx İntegralinde Değişken Değiştirme Çözümü

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL / YÖNTEM:]
Bu soruda değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi ve bölümün türevi kuralı kullanılır. Bölümün türevi formülü: (\frac{f}{g})' = \frac{f' \cdot g - g' \cdot f}{g^2}

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Verilen İntegrali Düzenleme
Soruda verilen integral şu şekildedir:

\int \frac{(x+1)^2}{(x-1)^4} dx = \int \left( \frac{x+1}{(x-1)^2} \right)^2 dx

Ancak soruda bizden u = \frac{x+1}{x-1} dönüşümü yapmamız beklenmektedir. İntegrali bu yapıya benzetmek için paydayı parçalayalım:

\int \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^2 \cdot \frac{1}{(x-1)^2} dx

Adım 2 — Değişken Değiştirme (u Tanımlama)
Soruda önerilen u = \frac{x+1}{x-1} dönüşümünü uygulayalım. Şimdi her iki tarafın türevini (du) alalım:

du = \frac{1 \cdot (x-1) - 1 \cdot (x+1)}{(x-1)^2} dx
du = \frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} dx = \frac{-2}{(x-1)^2} dx

Adım 3 — Diferansiyeli (dx) Yalnız Bırakma
Elimizdeki du = \frac{-2}{(x-1)^2} dx ifadesinden \frac{1}{(x-1)^2} dx kısmını çekelim:

\frac{du}{-2} = \frac{1}{(x-1)^2} dx

Adım 4 — Yeni İntegrali Oluşturma
Bulduğumuz değerleri ana integralde yerine yazalım:

\int \underbrace{\left( \frac{x+1}{x-1} \right)^2}_{u^2} \cdot \underbrace{\frac{1}{(x-1)^2} dx}_{du / -2}

İntegral şu hale gelir:

\int u^2 \cdot \left( \frac{du}{-2} \right) = -\frac{1}{2} \int u^2 du

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] -\frac{1}{2} \int u^2 du (Seçeneklerde bu ifadeye uygun olan şık işaretlenmelidir.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Değişken Değiştirme

  • [Tanım:] Karmaşık görünen bir integrali, bir kısmına u diyerek daha basit bir formata getirme işlemidir.
  • [Bu problemde:] Kesirli ifadeye u denilerek kuvvet fonksiyonu integraline dönüştürülmüştür.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Türevi Yanlış Alma

  • [Yanlış:] Sadece payın türevini alıp dx ile çarpmak.
  • [Doğru:] Bölüm şeklindeki ifadelerde mutlaka bölümün türevi kuralı uygulanmalıdır.
  • [Neden Yanlış:] Paydadaki (x-1) terimi türevi ve sonucu doğrudan etkiler.

Bu çözümdeki integralin sonucunu (u^3/3 cinsinden) tam olarak hesaplamamı ister misin, yoksa değişken değiştirme adımları yeterli mi?