[do - 4x + 5)
integralinin değeri kaçtır?
A) -2
B)-1
C) 0
D) 1
E) 2
\int_{1}^{3} d(x^2 - 4x + 5) İntegralinin Değeri
KULLANILAN FORMÜL:
Belirli integralde integral ve diferansiyel operatörleri birbirinin tersidir. Temel kural şöyledir:
\int_{a}^{b} d(f(x)) = f(x) \Big|_{a}^{b} = f(b) - f(a)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İntegrali Dışarı Çıkarma
İntegral sembolü (\int) ve diferansiyel sembolü (d) birbirini nötrler. Bu durumda fonksiyon olduğu gibi dışarı çıkar, ancak belirli integral olduğu için sınır değerlerini koruruz:
\int_{1}^{3} d(x^2 - 4x + 5) = (x^2 - 4x + 5) \Big|_{1}^{3}
Adım 2 — Üst Sınırı Yerine Yazma (x = 3)
Fonksiyonda x yerine 3 yazarak üst sınırın değerini hesaplayalım:
(3)^2 - 4(3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2
Adım 3 — Alt Sınırı Yerine Yazma (x = 1)
Fonksiyonda x yerine 1 yazarak alt sınırın değerini hesaplayalım:
(1)^2 - 4(1) + 5 = 1 - 4 + 5 = 2
Adım 4 — Sonucu Hesaplama
Üst sınır değerinden alt sınır değerini çıkaralım:
2 - 2 = 0
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 0
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Diferansiyel ve İntegral İlişkisi
- Tanım: Bir fonksiyonun diferansiyelinin integrali, fonksiyonun kendisidir.
- Bu problemde: d(x^2 - 4x + 5) ifadesinin integrali alındığında doğrudan x^2 - 4x + 5 ifadesine ulaşılır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Türev Alıp Tekrar İntegral Almaya Çalışmak
- Yanlış: Önce ifadenin türevini alıp (2x-4)dx yazıp sonra tekrar integralini alarak vakit kaybetmek.
- Doğru: Diferansiyel (d) ve İntegral (\int) yan yana geldiğinde birbirini yok ettiğini bilerek doğrudan sınırları yerine yazmak.
- Neden yanlış: Sonuç aynı çıksa da sınavda ciddi zaman kaybına yol açar.
Bu soruda uyguladığımız “birbirini yok etme” kuralını belirsiz integrallerde (sınırları olmayan) kullanırken sonuna +C eklemeyi unutmamalısın. Benzer mantıkta bir belirsiz integral sorusu çözmemi ister misin?