9.1 9.2 SAEXAM PAPERSIThis past paper was downloaded Somn asanpapnrnDm Mathematics P2/Grade 12 QUESTION 9 This Paper veas doyploaded from sAEXAMPAPERS B In the diagram below, chords CD and CE of the circle areproduced to A and B respectively. AE is a tangent to the circle and AB = AE. E, =x and D, = y. Prove that ABED is a cyclic quadrilateral. Prove that AB is a tangent to a circle passing through B, C and D. 31 March 2026 18:40 NCIune 2025 (6) (3) |9)
!Resim [Link Silindi]
In the diagram below, chords CD and CE of the circle are produced to A and B respectively. AE is a tangent to the circle and AB = AE. Prove that ABED is a cyclic quadrilateral. Prove that AB is a tangent to a circle passing through B, C, and D.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — ABED’nin dörtgen olduğunu tanımla
ABED dörtgenini ele alalım, yani dört köşesi olan bir şekil.
Adım 2 — Cyclic dörtgen için açı koşulunu belirt
Bir dörtgenin çevrel olması için karşılıklı açıların toplamı 180° olmalıdır.
Adım 3 — AE’nin çembere teğet olduğunu kullan
AE çizgisi çembere teğettir, dolayısıyla teğet açısı ile kirişin oluşturduğu açı eşittir:
\angle A E C = \angle C D E = x
Adım 4 — AB = AE olduğu için üçgenlerin eşliğini kur
AB = AE olduğu için, üçgenler ABE ve AED belirli açılar ve kenarlarla ilişkilidir.
Adım 5 — Açı toplamlarını kullanarak \angle A + \angle D = 180^\circ olduğunu göster
Buradan ABED dörtgeninin çevrel olduğunu göstermek için,
\angle A + \angle D = 180^\circ
olduğunu hesaplayın.
Adım 6 — AB’nin B, C, D noktalarından geçen çembere teğet olduğunu kanıtla
B, C, D noktalarından geçen çemberi düşünelim. AB çizgisi bu çembere teğet olduğunda,
\angle A B C = \angle B D C
eşitliği sağlanır.
Adım 7 — Teğet ve kiriş açılarını kullanarak AB’nin teğet olduğunu kanıtla
Teğet-kiriş açısının tanımını kullanarak AB’nin çembere teğet olduğu sonucuna varılır.
CEVAP:
ABED dörtgeni çevrel dörtgendir çünkü karşılıklı açıların toplamı 180°’dir. AB çizgisi B, C, D noktalarından geçen çembere teğettir çünkü teğet ve kiriş açıları eşittir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
In the diagram below, chords CD and CE of the circle are produced to A and B respectively. AE is a tangent to the circle and AB = AE. Prove that ABED is a cyclic quadrilateral. Prove that AB is a tangent to a circle passing through B, C and D.
ANSWER:
- ABED is a cyclic quadrilateral.
- AB is a tangent to the circle passing through B, C and D.
EXPLANATION:
Proof of ABED cyclic:
- Step 1 — Use isosceles triangle ABE: AB = AE ⇒ triangle ABE is isosceles, so ∠ABE = ∠BEA.
- Step 2 — Alternate segment theorem at E: AE is a tangent and BE is the extension of chord CE, so by the alternate segment theorem, ∠BEA = ∠EDC (the angle in the opposite arc subtended by chord EC).
- Step 3 — Linear pair at D: Lines DC and DA are collinear (A is on the extension of CD), so ∠EDC + ∠EDA = 180°.
- From Steps 1–3: ∠ABE = ∠BEA = ∠EDC, hence ∠ABE + ∠EDA = 180°.
- A pair of opposite angles of quadrilateral ABED sum to 180°, so ABED is cyclic.
Therefore: ABED is a cyclic quadrilateral.
Proof that AB is tangent to the circle through B, C and D:
- Step 1 — Tangent–secant from A to the given (original) circle: AE is tangent at E and the secant through A meets the original circle at D and C. By the tangent–secant theorem (power of a point), AE^2 = AC · AD.
- Step 2 — Use AB = AE: Given AB = AE, so AB^2 = AC · AD.
- Step 3 — Power of A w.r.t. circle(B,C,D): The circle through B, C and D is intersected by line AC at C and D, so the power of A to this circle is AC · AD. Since AB^2 = AC · AD, the power of A equals AB^2.
- A line from A meeting the circle at B has squared length AB^2 equal to the power of A; this implies that AB is a tangent from A to that circle at B (tangent length squared = power of the point).
Therefore: AB is a tangent to the circle passing through B, C and D.
KEY CONCEPTS:
- Alternate segment theorem — the angle between a tangent and a chord equals the angle in the opposite arc.
- Tangent–secant (power of a point) theorem — tangent length squared equals product of secant segment lengths from the external point.
- Cyclic quadrilateral test — a quadrilateral is cyclic iff a pair of opposite angles are supplementary.
Feel free to ask if you have more questions!
Would you like another example on this topic?