ilkokul öğrencisi Batuhan 2’den başlayıp ritmik şekilde sira-
siyla 2, 5, 8, 11,1. şeklinde Serkan ise 3’ten başlayıp ritmik
şekilde sirasıyla 3,711, 15,1. seklinde saymaya başlıyorlar.
Buna göre Batuhan ile Serkan’ın sayarken ikisinin de
söylediği ortak sayılardan üç basamaklı en küçük iki
doğal sayının toplamı kaçtır?
A) 208
B) 226
C) 242
D) 264
E) 272
Batuhan ve Serkan’ın Saydığı Ortak Üç Basamaklı Sayıların Toplamı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir A doğal sayısı için ardışık artış miktarları farklı olan dizilerde ortak terimler En Küçük Ortak Kat (EKOK) yöntemiyle bulunur:
A = 3k + 2 = 4m + 3
Eşitliğin her tarafına uygun bir tam sayı eklenerek veya çıkarılarak ortak paranteze alma kuralı uygulanır:
A + 1 = 3(k + 1) = 4(m + 1)
A + 1 = \text{EKOK}(3, 4) \cdot n = 12n \implies A = 12n - 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayı Dizilerinin Genel Terimlerini Belirleme
- Batuhan 2’den başlayıp üçer üçer saymaktadır:2, 5, 8, 11, \dots \implies 3k + 2 \quad (k \in \mathbb{N})
- Serkan 3’ten başlayıp dörder dörder saymaktadır:3, 7, 11, 15, \dots \implies 4m + 3 \quad (m \in \mathbb{N})
Adım 2 — Ortak Sayıların Genel Kuralını Bulma
İkisinin de söylediği ortak sayı A olsun:
A = 3k + 2 = 4m + 3
Her iki ifadeye de 1 eklediğimizde:
A + 1 = 3k + 3 = 4m + 4
A + 1 = 3(k + 1) = 4(m + 1)
Buradan A + 1 sayısının hem 3’ün hem de 4’ün tam katı olduğu görülür.
\text{EKOK}(3, 4) = 12
A + 1 = 12n \implies A = 12n - 1 \quad (n \in \mathbb{Z}^+)
Adım 3 — Üç Basamaklı En Küçük İki Doğal Sayıyı Bulma
Üç basamaklı en küçük sayıları elde etmek için n yerine sırasıyla değer verelim (A \ge 100 olmalıdır):
- n = 9 için:A_1 = 12 \times 9 - 1 = 108 - 1 = 107
- n = 10 için:A_2 = 12 \times 10 - 1 = 120 - 1 = 119
Adım 4 — Bulunan Sayıların Toplamını Hesaplama
A_1 + A_2 = 107 + 119 = 226
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 226
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. EKOK (En Küçük Ortak Kat) ile Periyot Bulma
- Tanım: Farklı periyotlarla tekrar eden sayı dizilerinin kesişim kümesini bulmak için periyotların en küçük ortak katı kullanılır.
- Bu problemde: 3 ve 4 aralarında asal olduğundan ortak artış periyodu \text{EKOK}(3, 4) = 12 olarak hesaplanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
İlk ortak terimi doğrudan periyotla çarpmak
- Yanlış: İlk ortak sayı 11 olduğu için sayıları 11 \times 10 = 110 gibi katlar şeklinde düşünmek.
- Doğru: Dizi genel terimini 12n - 1 formunda kurup n’e uygun değerler vermek.
- Neden yanlış: Ortak sayılar 11, 23, 35, \dots şeklinde 12’şer 12’şer artar; 11’in katları şeklinde ilerlemez.
Benzer EKOK ve bölünebilme mantığı içeren bir pekiştirme sorusu daha çözmemi ister misin?