I.
IL f(x) = x+x^{2}-2 fonksiyonunun [0, 3] aralığındaki
Iiğındaki ortalama değişim hıZI 7 dir.
I. (2) = f(9) olmak üzere, f fonksiyonunun [2, 9] ara-
Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
A) Yalnızl
B) Yalnız I|
C) Yalnız lll
E) I ve lI
D) I ve Il
4. Aşağıda
siyonunu
f(x-2
ve(
olduğ
A) 4
Fonksiyonlarda Ortalama Değişim Hızı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir f(x) fonksiyonunun [a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı:
\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — I. İfadenin Doğruluğunu İnceleme
f(x) = 7x + 3 fonksiyonunun [1, 4] aralığındaki değerlerini bularak formülde yerine yazalım:
- f(4) = 7 \cdot 4 + 3 = 31
- f(1) = 7 \cdot 1 + 3 = 10
\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{31 - 10}{3} = \frac{21}{3} = 7
(Doğrusal fonksiyonların herhangi bir aralıktaki ortalama değişim hızı her zaman fonksiyonun eğimine (m = 7) eşittir.)
I. ifade DOĞRUDUR.
Adım 2 — II. İfadenin Doğruluğunu İnceleme
f(2) = f(9) olduğu verilmiştir. [2, 9] aralığındaki ortalama değişim hızını hesaplayalım:
\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{f(9) - f(2)}{9 - 2} = \frac{0}{7} = 0
İfadede ortalama değişim hızının 7 olduğu söylenmiştir.
II. ifade YANLIŞTIR.
Adım 3 — III. İfadenin Doğruluğunu İnceleme
f(x) = x^3 + x^2 - 2 fonksiyonunun [0, 3] aralığındaki uç nokta değerlerini hesaplayalım:
- f(3) = 3^3 + 3^2 - 2 = 27 + 9 - 2 = 34
- f(0) = 0^3 + 0^2 - 2 = -2
\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{34 - (-2)}{3} = \frac{36}{3} = 12
III. ifade DOĞRUDUR.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (I ve III)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ortalama Değişim Hızı: Fonksiyonun grafiğinde iki noktayı birleştiren kesen doğrusunun eğimidir. Eğer iki noktada fonksiyon değerleri eşitse (f(a) = f(b)), kesen doğrusu x eksenine paralel olacağından değişim hızı daima 0 olur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: II. öncülde aralık uzunluğu olan 9 - 2 = 7 sonucunu ortalama değişim hızı sanmak.- Doğru Yaklaşım: Pay kısmındaki f(9) - f(2) farkının 0 olduğunu dikkate alarak sonucun \frac{0}{7} = 0 olduğunu görmek.
Bu konuyla ilgili anlık değişim hızı (türev) ile ortalama değişim hızı arasındaki ilişkiyi pekiştirmek için benzer bir soru çözmek ister misin?