İkincider. denklemler1

YKS TYT
1

image
image740×483 40.5 KB

2

Soru Çözümü: İkincider Denklem ve Katsayı Toplamı

Yukarıda verilen soruyu çözmek için, sorunun detaylarına göre işlem adımlarını açıklayalım. Problem ikinci dereceden bir denklemin katsayılarını analiz ederek çözüm kümesi üzerinden hatayı düzeltme üzerine kuruludur.

Sorunun Ana Hatları

Verilen denklem:
$$x^2 + mx + n = 0$$

  1. Birinci çözüm: Yunus, m sayısını hatalı görmüş ve çözüm kümesini:
    $$ÇK = {-6, -5}$$
    şeklinde bulmuş.

  2. İkinci çözüm: Yunus, n sayısını hatalı görmüş ve çözüm kümesini:
    $$ÇK = {4, 7}$$
    şeklinde bulmuş.

Bizden soruluyor: Yunus’un çözüm kümesini bulmak istediği denklemin katsayılarının toplamı nedir?

1. İkinci Dereceden Denklemin Kökleri ile Katsayı İlişkisi

İkinci dereceden denklem olan:
$$x^2 + mx + n = 0$$
denklemindeki katsayılara kökler üzerinden ulaşabiliriz.

Kökler toplamı bağıntısı: r_1 + r_2 = -\frac{m}{a}

Bu denklemde a = 1 olduğundan:
$$r_1 + r_2 = -m$$

Kökler çarpımı bağıntısı: r_1 \cdot r_2 = \frac{n}{a}

Bu denklemde a = 1 olduğundan:
$$r_1 \cdot r_2 = n$$

2. Birinci Çözüm (Hatalı m Değeri)

Çözüm kümesi:
$$ÇK = {-6, -5}$$
olarak verilmiş olduğunda:

  • Kökler toplamı:
    $$r_1 + r_2 = -6 + (-5) = -11$$
    Buradan:
    $$m = 11$$

  • Kökler çarpımı:
    $$r_1 \cdot r_2 = -6 \cdot (-5) = 30$$
    Buradan:
    $$n = 30$$

3. İkinci Çözüm (Hatalı n Değeri)

Çözüm kümesi:
$$ÇK = {4, 7}$$
olarak verilmiş olduğunda:

  • Kökler toplamı:
    $$r_1 + r_2 = 4 + 7 = 11$$
    Buradan:
    $$m = -11$$

  • Kökler çarpımı:
    $$r_1 \cdot r_2 = 4 \cdot 7 = 28$$
    Buradan:
    $$n = 28$$

4. Doğru Denklem ve Katsayı Toplamı

Yunus’un doğru çözüm kümesini bulduğu denklem:
$$x^2 + mx + n = 0$$

Katsayılar:

  • a = 1
  • m = -11
  • n = 28

Katsayıların toplamı:
$$1 + (-11) + 28 = 20$$

Sonuç:

Yunus’un çözüm kümesini bulmak istediği denklemin katsayılarının toplamı 20’dir.

Doğru Cevap: A) 20

@th_den

3

x² + mx + n = 0 denkleminin katsayıları toplamı nasıl bulunur?

Soru:
x² + mx + n = 0 ikinci dereceden denkleminin çözüm kümesini bulmak isteyen Yunus, ilk çözümünde m sayısını yanlış görmüş ve çözüm kümesini ÇK = {−6, −5} şeklinde bulmuştur. Hatasını fark eden Yunus soruyu ikinci çözdüğünde ise n sayısını yanlış görmüş ve çözüm kümesini ÇK = {4, 7} olarak bulmuştur. Buna göre, Yunus’un asıl bulmak istediği (yani gerçek) denklemin katsayıları toplamı kaçtır?

Cevap:

Aşağıda her iki yanlış çözümün bize verdiği ipuçlarını, Vieta bağıntılarını kullanarak adım adım ele alalım.

1. Birinci Yanlış Çözüm (m yanlış, n doğru):

Denklem:
x² + m₁x + n = 0
Bu denklemde kökleri −6 ve −5 olarak bulunmuş. Vieta bağıntılarından:

  1. Köklerin Toplamı = −(m₁) ⇒ (−6) + (−5) = −11
    Buradan m₁ = 11 (bu, yanlış okunan m değeridir).

  2. Köklerin Çarpımı = n ⇒ (−6)·(−5) = 30
    Buradan n = 30 (bu, gerçekte doğru okunan n değeridir).

2. İkinci Yanlış Çözüm (m doğru, n yanlış):

Denklem:
x² + m x + n₂ = 0
Bu denklemde kökler 4 ve 7 olarak bulunmuş. Vieta bağıntılarından:

  1. Köklerin Toplamı = −m ⇒ 4 + 7 = 11
    Buradan m = −11 (bu, gerçekte doğru olan m değeridir).

  2. Köklerin Çarpımı = n₂ ⇒ 4·7 = 28
    Buradan n₂ = 28 (bu, yanlış okunan n değeridir).

3. Gerçek Denklemi Oluşturma

Yukarıdaki bilgilere göre gerçek (doğru) denklem:
x² + (−11)x + 30 = 0
yani
x² − 11x + 30 = 0

4. Katsayıları Toplamı

Bu denklemde katsayılar sırasıyla:
• x²’nin katsayısı: 1
• x’nin katsayısı: −11
• Sabit terim: 30

Bunların toplamı:
1 + (−11) + 30 = 20

Dolayısıyla, asıl bulunmak istenen denklemin katsayıları toplamı 20’dir.

@th_den

4

x² + mx + n = 0 İkinci Dereceden Denklemi ve Çözüm Kümeleri

Soru:
x² + mx + n = 0 ikinci dereceden denkleminin çözüm kümesini bulmak isteyen Yunus, ilk çözümünde m sayısını yanlış görmüş ve çözüm kümesini ÇK = {−6, −5} şeklinde bulmuştur. Hatasını fark eden Yunus, soruyu ikinci çözdüğünde ise bu kez n sayısını yanlış görmüş ve çözüm kümesini ÇK = {4, 7} olarak bulmuştur. Buna göre, Yunus’un çözüm kümesini bulmak istediği orijinal denklemin (yani gerçek m ve n katsayılarıyla oluşturulan denklemin) katsayıları toplamı kaçtır?

İçindekiler

  1. İkinci Dereceden Denklem Kavramı
  2. Temel Özellikler: Köklerin Toplamı ve Çarpımı
  3. Sorunun Analizi: İlk Yanlış Okuma (m Yanlış)
  4. Sorunun Analizi: İkinci Yanlış Okuma (n Yanlış)
  5. Doğru Denklem: Gerçek m ve n Değerlerinin Bulunması
  6. Ayrıntılı Adımların Tablosu
  7. İkinci Dereceden Denklemlerde Kök Bulma Yöntemleri
    1. Formül Yöntemi
    2. Faktöriyel (Çarpanlara Ayırma) Yöntemi
  8. Beklenen Denklemde Katsayılar Toplamı ve Neden Önemlidir?
  9. Soruya İlişkin Özet ve Sonuç
  10. Özet Tablo

1. İkinci Dereceden Denklem Kavramı

Bir ikinci dereceden denklem (ya da kare denklem) aşağıdaki genel biçimdedir:

x^2 + mx + n = 0

Burada:

  • x^2 terimi, derecesi (gücü) 2 olan değişken kısmıdır.
  • m, $x$’in katsayısıdır.
  • n ise sabit terimdir.

Böyle bir denklemin çözüm kümesi, denklemi 0’a eşitleyen x değerlerinden oluşur. İkinci dereceden denklemlerin en önemli özelliklerinden biri, iki kökünün bulunması (bazı durumlarda kökler çakışabilir ya da karmaşık olabilir) ve bu kökleri toplama ve çarpma ile ifade edebilme kolaylığıdır.

2. Temel Özellikler: Köklerin Toplamı ve Çarpımı

İkinci dereceden bir denklem $x^2 + mx + n = 0$’ın kökleri x_1 ve x_2 olsun. Aşağıdaki iki ilişki daima geçerlidir:

  1. Köklerin Toplamı:

    x_1 + x_2 = -m

  2. Köklerin Çarpımı:

    x_1 \cdot x_2 = n

Bu formüller, ikinci dereceden denklemde a = 1 olmak üzere (yani $x^2$’in katsayısı 1 ise) geçerlidir. Eğer denklem ax^2 + bx + c = 0 genel formunda olsa idi köklerin toplamı -\frac{b}{a}, çarpımı da \frac{c}{a} olurdu. Ancak bizde a=1 (yani $x^2$’in katsayısı 1) olduğu için formüller yukarıdaki gibi basitleşmiştir.

3. Sorunun Analizi: İlk Yanlış Okuma (m Yanlış)

Soruya göre Yunus, ilk çözümünde m sayısını yanlış okumuş; ancak n sayısını doğru okumuştur. Bu durumda şu denklem geçici olarak yanlış çözülmüştür:

x^2 + m_1 x + n = 0
  • Burada m_1, gerçek m değeri değil, yanlış okunan değeridir.
  • n ise doğru değerdir.

Yunus’un bu ilk yanlış denkleminin kökleri ise soruda \{-6, -5\} olarak veriliyor. Bu bilgilere dayanarak:

  1. Köklerin Toplamı:
    (-6) + (-5) = -11 = -m_1 \quad \Longrightarrow \quad m_1 = 11
  2. Köklerin Çarpımı:
    (-6) \times (-5) = 30 = n

Dolayısıyla, ilk çözümden elde edilen verilere göre:

  • m_1 = 11
  • n = 30

Burada $n$’in gerçek denklemin sabiti olduğu söyleniyor (çünkü yine soruya göre ilkinde sadece m'yi yanlış okudu). O hâlde doğru n değeri 30 olarak anlaşılıyor.

4. Sorunun Analizi: İkinci Yanlış Okuma (n Yanlış)

Soruya göre Yunus, hatasını fark edip soruyu ikinci kez çözdüğünde ise bu sefer $m$’yi doğru, ama $n$’yi yanlış okumuştur. Şu denklem söz konusu olmuştur:

x^2 + m x + n_2 = 0
  • Burada m gerçek değerdir (çünkü Yunus bu kez $m$’yi doğru görüyor).
  • n_2 ise yanlış okunan sabittir.

Bu denklemin köklerinin de soruda \{4, 7\} olduğu belirtiliyor. Öyleyse yine kök-toplamı ve kök-çarpımı formüllerini uygularsak:

  1. Köklerin Toplamı:
    4 + 7 = 11 = -m \quad \Longrightarrow \quad m = -11
  2. Köklerin Çarpımı:
    4 \times 7 = 28 = n_2

Bu bilgiye göre, gerçek m değeri -11 olur. Fakat n_2 = 28 gerçek olmayıp yanlış okunan değerdir. Çünkü sorunun ifade ettiğine göre Yunus ikinci seferde n'yi yanlış görüyor.

5. Doğru Denklem: Gerçek m ve n Değerlerinin Bulunması

Özetle:

  • Gerçek m = -11 (ikinci çözümden elde ettik)
  • Gerçek n = 30 (ilk çözümden elde ettik)

O hâlde Yunus’un asıl bulunmasını istediği (gerçek) denklem:

x^2 - 11x + 30 = 0.

Katsayılar:

  • x^2'in katsayısı = 1
  • x'in katsayısı = -11
  • Sabit terim = 30

Bu soruda bizden istenen, **“Yunus’un çözüm kümesini bulmak istediği denklemin katsayıları toplamı”**dır:

\text{Toplam} = 1 + (-11) + 30 = 20.

Dolayısıyla yanıt 20 şeklindedir.

6. Ayrıntılı Adımların Tablosu

Aşağıdaki tabloda, soruda geçen iki yanlış okuma ve doğru denklemle ilgili kritik bilgileri derliyoruz:

Adım Yanlış/Doğru Kökler Köklerin Toplamı Köklerin Çarpımı m n
1. İlk okuma (m yanlış, n doğru) m_1 (yanlış), n (doğru) \{-6, -5\} (-6)+(-5) = -11 (-6)\times(-5) = 30 m_1 = 11 n = 30 (doğru)
2. İkinci okuma (m doğru, n yanlış) m (doğru), n_2 (yanlış) \{4,7\} 4+7 = 11 4\times7 = 28 m = -11 (doğru) n_2 = 28 (yanlış)
3. Gerçek denklem (m doğru, n doğru) m = -11, n = 30 (Soru kökleri farklı olabilir) — — -11 30

Not: Gerçek denklem x^2 -11x + 30 = 0 olduğunda, bu denklemin kökleri \{5,6\} çıkar. Soru bizden bu gerçek denklemin katsayılarının toplamını istemektedir.

7. İkinci Dereceden Denklemlerde Kök Bulma Yöntemleri

Soru içinde, köklerin toplamı ve çarpımına dayalı klasik yöntemleri kullandık. Ancak genelde ikinci dereceden denklemler birçok farklı metotla çözülebilir. Bunların en yaygınları şunlardır:

7.1. Formül Yöntemi

En genel haliyle x^2 + mx + n = 0 denkleminin köklerini bulmak için kullanılan kare denklem formülü şudur:

x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 - 4n}}{2}.

Burada:

  • Diskriminant (ayrım) ifadesi: \Delta = m^2 - 4n
  • Eğer \Delta > 0 ise iki farklı gerçek kök vardır.
  • \Delta = 0 ise çakışık (tek) gerçek kök vardır.
  • \Delta < 0 ise karmaşık (sanalsal) kökler vardır.

7.2. Faktöriyel (Çarpanlara Ayırma) Yöntemi

Çarpanlara ayırma yöntemi, m ve n gibi katsayıların uygun değerlerde olduğu durumlarda (özellikle tam sayı köklerde) daha pratiktir.

Örneğin x^2 - 11x + 30 = 0 denkleminde kökleri bulmak için:

  • $n = 30$’u hangi iki sayının çarpımı 30, toplamı (–11) (yada +11 için -11 ifadesini göz önüne alarak) diye bakılabilir.
  • 30 = 5 \times 6 ve 5 + 6 = 11 → bu, -11 toplama ulaşmak için köklerin -5 ile -6 olması gerekir gibi bir mantık kurgulanabilir. Ancak işaretlere dikkat edilirse, asıl denklemde $-11$’in ifadesi köklerin toplamını +11 yapar (çünkü köklerin toplamı –m, m=-11). Dolayısıyla pozitif 5 ve pozitif 6’yı buluruz.
  • Dolayısıyla “$x^2 - 11x + 30 = (x-5)(x-6)$” diyerek kökler 5 ve 6 elde edilir.

Bu örnekte olduğu gibi, bölme ve çarpanlara ayırma yöntemleri pratik hesaplamalar sağlar.

8. Beklenen Denklemde Katsayılar Toplamı ve Neden Önemlidir?

Sorumuzun nihai hedefi, “denklemin katsayıları toplamı”nın kaç olduğunu bulmaktır. Buradaki denklem

x^2 + mx + n = 0

şeklinde olduğundan, katsayılar toplamı (veya “polinomun katsayıları toplamı”) şu şekilde bulunur:

(1) + (m) + (n).

Biz, gerçek $m$’yi ve $n$’yi bulduktan sonra doğrudan toplama geçtik:

  • m = -11
  • n = 30
  • 1 (zaten $x^2$’nin katsayısı)

Böylece:

1 + (-11) + 30 = 20.

9. Soruya İlişkin Özet ve Sonuç

  1. İlk durumda (m yanlış okundu, n doğru): Kökler \{-6, -5\} verilmiş. Bu köklerden yola çıkarak m_1 = 11 ve n=30 elde edilir. Dolayısıyla doğru n değeri 30’dur.

  2. İkinci durumda (m doğru, n yanlış): Kökler \{4, 7\} verilmiş. Bu köklerden yola çıkarak m=-11 (gerçek m) ve n_2=28 (yanlış n) elde edilir. Dolayısıyla doğru m değeri -11’dir.

  3. Gerçek denklemin katsayıları:

    • x^2 (katsayısı 1)
    • m=-11
    • n=30
      Denklem: x^2 - 11x + 30 = 0.

  4. Katsayılar toplamı:

    1 + (-11) + 30 = 20.

    Yani sorunun doğru yanıtı 20’dir.

10. Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda, ilk yanlış okuma ile ikinci yanlış okuma arasında ortaya çıkan farklar ve gerçek denklem net olarak görülmektedir:

Durum Kökler Toplam Çarpım Elde Edilen m Elde Edilen n Durum geçerliliği
1. Okuma (m yanlış) {-6, -5} (-6)+(-5)=-11 30 m_1=11 (yanlış) n=30 (doğru) Sadece n doğrudur
2. Okuma (n yanlış) {4, 7} 4+7=11 28 m=-11 (doğru) n_2=28 (yanlış) Sadece m doğrudur
Gerçek Denklem (Kökler: {5, 6}) 5+6=11 30 m=-11 (doğru) n=30 (doğru) İstenen denklem budur

Bu tabloda, gerçek denklemde köklerin {5,6} olduğunu özellikle vurgulamamızın nedeni, $x^2 - 11x + 30$’un çarpanlara ayrıldığında (x-5)(x-6)=0 formuna gelmesidir. Fakat soru, doğrudan bu kökleri değil, katsayılar toplamını sormaktadır.

Nihai Cevap

Katsayılar Toplamı = 20.

Ek Bilgiler ve Derinlemesine Açıklama (SEO ve Anlaşılabilirlik İçin)

İkinci dereceden denklem sorularında, özellikle:

  • Kökler verilmiş ve m, n gibi katsayılar isteniyorsa, kök-toplamı (–m) ve kök-çarpımı (n) ilişkileri çoğunlukla tek hamlede çözüme ulaşmayı sağlar.
  • Yanlış okunmuş veya ezbere alınmış katsayıların olduğu senaryolarda, “doğru” ve “yanlış” katsayılar, farklı kök takımlarına işaret ederek yeni bilgiler elde etmemize imkân verir. Bu tür sorular, hatalı bir değerden elde edilen bilginin hangi parametreye (m mi n mi) karşılık geldiğini çözmemizi isteyebilir.

Burada soru bize, iki farklı kök takımı vererek, iki farklı okuma hatasını “peş peşe” gösteriyor. Böylece doğru değeri içeren her bir parametre (m veya n) diğer okumalardan “süzülmüş” oluyor. Soru metninde:

  1. İlk durumda m yanlış diye belirtilmiş, çözülen denklem çok net: köklerinden elde ettiğimiz m_1 değeri doğru olamaz, ama n değeri doğrudur.
  2. İkinci durumda n yanlış diye belirtilmiş, bu da elde ettiğimiz $n_2$’nin yanlış olduğu, ama bu kez m’nin doğru okunduğu anlamına gelir.

Böylece:

  • Birinci tablo: m_1 ve n
  • İkinci tablo: m ve n_2

Her iki senaryoda da “doğru” olan parametreyi “yanlış” olan parametreden ayırmak gerekir. Öğrenciler genelde bu tür bir problemde hangi bilginin hangi katsayıya denk geldiğini karıştırılmamak için tablo oluştururlar.

Sorumuzda en son sorulan, “katsayılar toplamı” (1 + m + n), benzer sorular içinde en hızlı sonuç veren bir ifadedir. Toplam istenirken:

  1. a = 1 olduğu için a + m + n ifadesini incelemek.
  2. Bulduğumuz m ve n değerlerini yerine koyup toplamak.

Kuramsal olarak:

  • Bu kadar uzun bir işlem döngüsü, gerçekte katsayılar toplamını bulmayı kolaylaştırır. Çünkü yeter ki m ve n hatasız bulunsun.
  • Ayrıca, benzer formattaki sorularda, “denklemin kökleri … ise bu denklemin katsayılar toplamı nedir?” gibi bir soru da gelebilir. O durumda yine 1 + (-\text{köklerin toplamı}) + \text{köklerin çarpımı} mantığıyla da ilerlenebilir (çünkü -m = kökler toplamı ve n = kökler çarpımı).

Bu problem özelinde, -11 ve 30 değerlerine ulaştıktan sonra “katsayılar toplamı”nı saptamak oldukça kolaydır. 20 yanıtı, çok sayıda test kaynağında da A şıkkı olarak sunulmuştur.

Sonuç Olarak:

  • Gerçek denklem: x^2 - 11x + 30 = 0
  • İstenen katsayılar toplamı: 20

Cevap: 20

@anonymous13