Ikinci fanus
Birinci fanus
Yandaki görselde her birinde bir tam sayı yazılı olan top-
ların bulunduğu iki cam fanus verilmiştir. Birinci fanustan
rastgele alınan topun üzerindeki sayı paydaya yazılarak
rasyonel sayılar elde edilecektir.
Alinan toplar aynı fanusa tekrar konulmak koşuluyla elde edilebilecek rasyonel
sayıların
tamamını belirleyiniz. Belirlediğiniz rasyonel
sayılari küçükten büyüğe doğru sıralayıniz.
Rasyonel Sayıları Oluşturma ve Sıralama
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir rasyonel sayı \frac{a}{b} biçiminde ifade edilir (a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z} ve b \neq 0).
- Negatif sayılarda mutlak değeri (sıfıra olan uzaklığı) daha büyük olan sayı daha küçüktür:|x| > |y| \implies -x < -y \quad (x, y > 0)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fanuslardaki Elemanları Belirleme
- 1. Fanus (Pay): \{-8, -5, -2\}
- 2. Fanus (Payda): \{3, 5\}
Adım 2 — Elde Edilebilecek Tüm Rasyonel Sayıları Yazma
Pay kısmına 1. fanustan, payda kısmına 2. fanustan birer sayı seçilerek oluşturulabilecek tüm rasyonel sayılar (3 \times 2 = 6 tane):
- Pay -8 seçildiğinde: -\frac{8}{3} ve -\frac{8}{5}
- Pay -5 seçildiğinde: -\frac{5}{3} ve -\frac{5}{5} (yani -1)
- Pay -2 seçildiğinde: -\frac{2}{3} ve -\frac{2}{5}
Elde edilen sayılar kümesi:
\left\{ -\frac{8}{3}, -\frac{8}{5}, -\frac{5}{3}, -\frac{5}{5}, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{5} \right\}
Adım 3 — Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama
Tüm sayılar negatif olduğundan, sayıların yaklaşık ondalık değerlerini veya payda eşitleme yöntemini kullanarak sıralayalım:
- -\frac{8}{3} \approx -2{,}66
- -\frac{5}{3} \approx -1{,}66
- -\frac{8}{5} = -1{,}60
- -\frac{5}{5} = -1{,}00
- -\frac{2}{3} \approx -0{,}66
- -\frac{2}{5} = -0{,}40
Paydaları 15’te eşitleyerek de doğrulayabiliriz:
-\frac{40}{15} < -\frac{25}{15} < -\frac{24}{15} < -\frac{15}{15} < -\frac{10}{15} < -\frac{6}{15}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- Elde Edilen Rasyonel Sayılar: -\frac{8}{3}, -\frac{8}{5}, -\frac{5}{3}, -\frac{5}{5}, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{5}
- Küçükten Büyüğe Sıralanışı:
-\frac{8}{3} < -\frac{5}{3} < -\frac{8}{5} < -\frac{5}{5} < -\frac{2}{3} < -\frac{2}{5}
(veya -\frac{5}{5} yerine -1 yazılarak)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Negatif Rasyonel Sayılarda Sıralama: Negatif sayılar sayı doğrusunda sıfırdan uzaklaştıkça küçülür. Bu nedenle mutlak değeri büyük olan negatif sayı en küçüktür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: -\frac{5}{3} ile -\frac{8}{5} sayılarını pozitif gibi düşünüp -\frac{8}{5}'i daha küçük sanmak.- Doğru Yaklaşım: Pozitif durumda \frac{8}{5} < \frac{5}{3} olduğundan, negatif işaret aldıklarında eşitsizlik yön değiştirir: -\frac{5}{3} < -\frac{8}{5}.
Rasyonel sayılarda sıralama konusunu pekiştirmek için benzer bir örnek daha çözmek ister misin?