İkinci dereceden fonksiyonlar çözümlü sorular

Genel Kültür
1

ikinci dereceden fonksiyonlar çözümlü sorular

2

İkinci Dereceden Fonksiyonlar Çözümlü Sorular Nelerdir ve Nasıl Çözülür?

Cevap:
İkinci dereceden fonksiyonlar, matematikte genellikle parabol şeklinde grafiklere sahip olan ve genel formu
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$
şeklinde ifade edilen fonksiyonlardır. Burada a \neq 0 olmak zorundadır.

İkinci dereceden fonksiyonların çözümünde en çok karşılaşılan sorular; fonksiyonun eşitliklerini çözmek, köklerini bulmak, tepe noktasını ve maksimum-minimum değerlerini belirlemektir. Ayrıca fonksiyon grafiğinin çizimi, dolaşım yönü, ve değer aralıklarının bulunması da sıkça sorulmaktadır.

Table of Contents

  1. İkinci Dereceden Fonksiyonun Temel Özellikleri
  2. İkinci Dereceden Fonksiyonun Grafiği
  3. Köklerin Bulunması
  4. Tepe Noktası ve Maksimum/Minimum Değer
  5. Çözümlü Sorulara Örnekler

1. İkinci Dereceden Fonksiyonun Temel Özellikleri

  • Genel form:
    $$f(x) = ax^2 + bx + c$$
    Burada, a, b, c gerçek sayılar ve a \neq 0.

  • Parabolün Açılması:

    • a > 0 ise parabola yukarı doğru açılır (minimum noktası vardır).
    • a < 0 ise parabola aşağı doğru açılır (maksimum noktası vardır).

  • Denklemin derecesi 2 olduğundan şekli daima bir parabol olur.

2. İkinci Dereceden Fonksiyonun Grafiği

  • Simetri ekseni:
    $$x = -\frac{b}{2a}$$
    Parabolun simetri ekseni ve aynı zamanda tepe noktasının x-koordinatıdır.

  • Tepe noktasının koordinatları:
    $$T \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$$

  • Parabolun grafiği tepe noktasında maksimum ya da minimum değerine ulaşır.

3. Köklerin Bulunması

İkinci dereceden fonksiyonun kökleri (zeroları), fonksiyonun sıfır olduğu x değerleridir, yani

$$f(x) = 0 \Rightarrow ax^2 + bx + c = 0$$

Kökler, ikinci dereceden denklemin çözüm formülü ile bulunur:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Buradaki \Delta = b^2 - 4ac ifadesine diskriminant denir:

  • Eğer \Delta > 0 ise, 2 farklı gerçek kök vardır.
  • Eğer \Delta = 0 ise, 1 adet gerçek çift katlı (çakışık) kök vardır.
  • Eğer \Delta < 0 ise, gerçek kök yoktur (kökler karmaşıktır).

4. Tepe Noktası ve Maksimum/Minimum Değer

  • Tepe noktası x-koordinatı;
    $$ x_T = -\frac{b}{2a} $$

  • Tepe noktası y-koordinatı;
    $$ y_T = f(x_T) = a x_T^2 + b x_T + c $$

  • Eğer a > 0, tepe noktası fonksiyonun minimum değeridir.

  • Eğer a < 0, tepe noktası fonksiyonun maksimum değeridir.

5. Çözümlü Sorulara Örnekler

Örnek 1: Köklerin bulunması

$$ f(x) = 2x^2 - 4x - 6 $$ fonksiyonunun köklerini bulun.

Çözüm:

  • a=2, b=-4, c=-6
  • Diskriminant:
    \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64
  • Kökler:
    x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 8}{4}
    • x_1 = \frac{4 + 8}{4} = \frac{12}{4} = 3
    • x_2 = \frac{4 - 8}{4} = \frac{-4}{4} = -1

Örnek 2: Tepe noktasının bulunması

$$ f(x) = -x^2 + 4x + 1 $$ fonksiyonunun tepe noktasını ve maksimum değerini bulun.

Çözüm:

  • a = -1 < 0 (maksimum değer var)
  • Tepe noktası x-koordinatı:
    x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2
  • Tepe noktası y-koordinatı:
    y_T = f(2) = - (2)^2 + 4 \cdot 2 +1 = -4 + 8 + 1 = 5
  • Tepe noktası: (2, 5) ve fonksiyonun maksimum değeri 5’tir.

Özet Tablo

Özellik Formül / Yöntem Açıklama
Fonksiyon Genel Formu f(x) = ax^2 + bx + c a \neq 0 olması şart
Kökler x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} Köklerin sayısı diskriminanta bağlı
Diskriminant \Delta = b^2 - 4ac Pozitifse 2 gerçek kök vardır
Tepe Noktası x-koordinatı x_T = -\frac{b}{2a} Parabolun simetri ekseni
Tepe Noktası y-koordinatı y_T = f(x_T) Maksimum veya minimum değer
Maksimum/Minimum Durumu a>0 ise minimum, a<0 ise maksimum Parabolun açılış yönü

Sonuç olarak; İkinci dereceden fonksiyonlar, köklerin diskriminant yöntemiyle bulunması, tepe noktası formüllerinin uygulanması ve parabol grafiğinin anlaşılması ile çözülür. Bu temel bilgiler doğrultusunda, her türlü ikinci dereceden fonksiyon sorusu çözülebilir.

@Dersnotu