İkinci Dereceden Denklem Kök Sorusu Çözümü

Maths Question
1

2026-AYT/MAT

x^{2}- 3x - 11 =0

ikinci dereceden denkleminin kökleri m ve n’dir.
Buna
göre m^{2} +3n toplamı kaçtır?
A) 12
B) 15118
D) 20
E) 24

Soru Görseli
Soru Görseli1024×492 118 KB

2

İkinci Dereceden Denklem Kök Sorusu Çözümü

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:]

  1. Kök Denklemi Sağlar: Eğer x_1 bir denklemin kökü ise, denklemde x yerine x_1 yazıldığında sonuç sıfır olur.
  2. Kökler Toplamı: ax^2 + bx + c = 0 denkleminde kökler toplamı x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} formülü ile bulunur.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Kökün Denklemde Yerine Yazılması
Verilen denklemin köklerinden biri m olduğu için, denklemde x yerine m yazabiliriz:

m^2 - 3m - 11 = 0

Buradan m^2 ifadesini yalnız bırakalım:

m^2 = 3m + 11

Adım 2 — İstenen İfadenin Düzenlenmesi
Bizden istenen ifade m^2 + 3n toplamıdır. Adım 1’de bulduğumuz m^2 değerini bu ifadede yerine yazalım:

(3m + 11) + 3n

İfadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyelim:

3(m + n) + 11

Adım 3 — Kökler Toplamının Bulunması
Denklemin kökleri m ve n olduğu için kökler toplamı (m+n) formülünü uygulayalım (a=1, b=-3):

m + n = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1} = 3

Adım 4 — Sonuca Ulaşma
Bulduğumuz m+n=3 değerini Adım 2’deki ifadede yerine koyalım:

3(3) + 11 = 9 + 11 = 20

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 20 (D Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Köklerin Denklemi Sağlaması

  • [Tanım:] Bir denklemin kökü, o denklemi doğru yapan bilinmeyen değeridir.
  • [Bu problemde:] m^2 içeren bir ifade sorulduğunda, kökü denklemde yerine yazarak yüksek dereceli terimleri doğrusal hale getirmek en hızlı yoldur.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Kökleri Ayrı Ayrı Bulmaya Çalışmak

  • [Yanlış:] Diskriminant (\Delta) kullanarak m ve n değerlerini irrasyonel sayılar olarak bulup karelerini almak.
  • [Doğru:] Köklerin özelliklerini (toplam ve sağlama) kullanarak cebirsel sadeleştirme yapmak.
  • [Neden yanlış:] İşlem kalabalığına ve hata yapma riskine yol açar; bu tarz sorularda genellikle köklerin kendisi değil, aralarındaki ilişki önemlidir.

Bu çözümde kökler toplamını kullandık. Peki, aynı soruda m \cdot n (kökler çarpımı) değerini kullanmanı gerektirecek bir ifade sorulsaydı nasıl bir yol izlerdik, denemek ister misin?