İkinci dereceden bir P(x) polinomu için $P(x)\ge0$ olduğu biliniyor. $P(1)=8$ ve $P(2)=2$ olduğuna göre, P(x) polinomunun baş katsayısını alabileceği tam sayı değerleri toplamı kaçtır?

YKS TYT
1

1000047468
10000474681958×1064 144 KB

2

İkinci Dereceden Polinom Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • P(x) ikinci dereceden bir polinomdur ve P(x) ≥ 0 koşulunu sağlar
  • P(1) = 8 ve P(2) = 2 verilmiştir
  • Polinomun baş katsayısı olan a değerlerinin tam sayı toplamı istenmektedir

İkinci dereceden polinom için genel ifade:

P(x) = a x^2 + b x + c

Burada a, b, c katsayılarıdır ve a \neq 0.

İçindekiler

  1. Polinomun Genel Yazımı ve Bilinenler
  2. P(x) ≥ 0 Koşulunun Anlamı
  3. Verilen Noktaların Kullanımı ve Katsayıların İlişkisi
  4. Baş Katsayısı Olan a Değerlerinin Bulunması
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

1. Polinomun Genel Yazımı ve Bilinenler

İkinci dereceden polinom:

P(x) = a x^2 + b x + c

Burada a, b, c \in \mathbb{R} ve a \neq 0.

Verilen bilgiler:

P(1) = 8 \quad \Rightarrow \quad a + b + c = 8
P(2) = 2 \quad \Rightarrow \quad 4a + 2b + c = 2

2. P(x) ≥ 0 Koşulunun Anlamı

Bir ikinci dereceden polinomun P(x) \geq 0 olması, tüm x \in \mathbb{R} için negatife dönmemesi anlamına gelir. Bu da şu durumlardan birine işaret eder:

  • Polinomun grafiği aşağıdan açık ve diskriminant (b² - 4ac) ≤ 0
  • Diskriminant 0 ise tek katlı kök vardır, bu durumda parabol tepe noktası x eksenine teğet geçer

Yani:

\Delta = b^2 - 4ac \leq 0

:warning: Uyarı: Eğer polinomun negatif olduğu herhangi bir x varsa soru koşulunu sağlamaz.

3. Verilen Noktaların Kullanımı ve Katsayıların İlişkisi

İki denklem:

a + b + c = 8 \quad (1)
4a + 2b + c = 2 \quad (2)

(2) - (1) yapalım:

(4a - a) + (2b - b) + (c - c) = 2 - 8 \Rightarrow 3a + b = -6 \quad (3)

Buna göre:

b = -6 - 3a

Şimdi (1) den:

a + (-6 - 3a) + c = 8 \Rightarrow a -6 - 3a + c = 8 \Rightarrow -2a + c = 14 \Rightarrow c = 14 + 2a

4. Baş Katsayısı a Değerlerinin Bulunması

Diskriminant şartı:

\Delta = b^2 - 4ac \leq 0

Burada

b = -6 - 3a, \quad c = 14 + 2a

Yerine koyarsak:

(-6 - 3a)^2 - 4 a (14 + 2a) \leq 0
(36 + 36a + 9a^2) - 4a(14 + 2a) \leq 0

Faktöriyelleri açalım:

36 + 36a + 9a^2 - 56a - 8a^2 \leq 0
36 + (36a - 56a) + (9a^2 - 8a^2) \leq 0
36 - 20a + a^2 \leq 0

Birinci dereceden değil, ikinci dereceden eşitsizlik:

a^2 - 20a + 36 \leq 0

Bu parabolün köklerini bulalım:

\Delta_a = (-20)^2 - 4 \times 1 \times 36 = 400 - 144 = 256
a_{1,2} = \frac{20 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{20 \pm 16}{2}
a_1 = \frac{20 -16}{2} = 2, \quad a_2 = \frac{20 +16}{2} = 18

a^2 - 20a + 36 \leq 0 için parabolun açısı pozitif olduğundan, a \in [2, 18].

a tam sayılar ve toplamı

  • a tam sayı olmalıdır
  • a \in \{2, 3, 4, ..., 18\} (2 ve 18 dahil)

Toplam:

\sum_{k=2}^{18} k = \left(\sum_{k=1}^{18} k\right) - 1 = \frac{18 \times 19}{2} - 1 = 171 - 1 = 170

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
P(x) formu a x^2 + b x + c Genel tanım
Verilen değerler P(1)=8, P(2)=2 Denklem sistemi oluşturuldu
Katsayı ilişkisi b=-6 - 3a, c = 14 + 2a İfade edildi
Pozitiflik şartı b^2 - 4ac \leq 0 a^2 - 20a + 36 \leq 0
a aralığı a \in [2,18] tam sayılar Toplam 17 sayı
Sonuç 2+3+...+18 = 170 Cevap: 170

Sık Sorulan Sorular

1. P(x) ≥ 0 koşulu neden önemlidir?
Bu koşul polinomun negatif değer almaması yani tüm reel sayılarda sıfır veya pozitif olması anlamına gelir. Bu genellikle polinomun köklerinin konumuna ve katsayılarına bağlıdır.

2. Baş katsayısı neden önemlidir?
Baş katsayısı polinomun derecesini ve açısını belirler, ayrıca polinomun limit davranışını kontrol eder. Bu problemde önemli çünkü tam sayı değerleri toplamı isteniyor.

3. Diskriminant nasıl yorumlanır?
Diskriminant negatif veya sıfırsa kökler ya yoktur ya da eşittir, bu da polinomun negatif olmadığı anlamına gelir. Pozitif diskriminant polinomun reel ve farklı köklerinin olduğu anlamına gelir, negatif değerler alabilir.

Sonraki Adımlar

Bu problem türünde köklerin pozisyonu ve katsayı ilişkilerini daha derin öğrenmek ister misiniz? Ya da başka bir polinom sorusu çözelim mi?

@Rfa

3

ikinci dereceden bir P(x) polinomu için P(x)\ge0 olduğu biliniyor. P(1)=8 ve P(2)=2 olduğuna göre, P(x) polinomunun baş katsayısını alabileceği tam sayı değerleri toplamı kaçtır?

Önemli Noktalar

  • P(x)\ge0 için ikinci dereceden polinomda a>0 ve diskriminant D\le0 olmalıdır.
  • P(1)=8 ve P(2)=2 koşullarından b=-6-3a,\;c=14+2a bulunur.
  • Diskriminant $$D=b^2-4ac=a^2-20a+36\le0;\Longrightarrow;2\le a\le18.$$

Doğru cevap: Tam sayılar $2$’den $18$’e kadar olup toplamı $170$’tir.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırmalı Tablo
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Polinomumuzu $$P(x)=ax^2+bx+c$$ biçiminde yazalım.
  2. P(1)=a+b+c=8 ve P(2)=4a+2b+c=2 sisteminden
    $$\begin{cases}
    a+b+c=8\
    4a+2b+c=2
    \end{cases}
    ;\Rightarrow;
    \begin{cases}
    b=-6-3a,\
    c=14+2a.
    \end{cases}$$
  3. P(x)\ge0 için a>0 ve
    D=b^2-4ac=(-6-3a)^2-4a(14+2a)=a^2-20a+36\le0.
  4. Denklemin kökleri a=2 ve a=18 olduğundan
    2\le a\le18.
  5. a tam sayı olduğuna göre alabileceği değerler 2,3,\dots,18 ve bunların toplamı
    \sum_{k=2}^{18}k=\frac{18\cdot19}{2}-1=171-1=170.

Karşılaştırmalı Tablo

Durum Diskriminant D Kökler P(x) işareti Koşulu Sağlar mı?
D<0 <0 Gerçek kök yok Aynı işaret (a>0 ise +) Evet
D=0 =0 Çift kök (reel) P(x)\ge0 (a>0 ise) Evet
D>0 >0 2 gerçek ve farklı İki kök arasında − Hayır

Özet Tablosu

Adım İfade
Polinom P(x)=ax^2+bx+c
Koşullar P(1)=8,\;P(2)=2,\;P(x)\ge0
Çözüm b=-6-3a,\;c=14+2a
Diskriminant D=a^2-20a+36\le0\;\Rightarrow\;2\le a\le18
Tam sayılar 2,3,\dots,18
Toplam 170

SSS

S1. Diskriminant nasıl hesaplanır?
C1. İkinci dereceden polinomda D=b^2-4ac formülü ile hesaplanır.

S2. P(x)\ge0 koşulunda neden a>0 gerekir?
C2. a>0 ise parabol tepesi aşağı dönüktür ve min değeri ≥0 olur; a<0 ise P(x) −∞’a iner.

S3. Köklerin çift olması ne anlama gelir?
C3. D=0 ise parabol x eksenine teğet geçer, tek bir (çift katlı) reel kök vardır.

S4. Uç değerler (2 ve 18) niçin dahil edildi?
C4. D\le0 koşulunda eşitlik (D=0) durumu da geçerli kabul edilir.

Çalışmayı pekiştirmek için benzer 3 soru örneği ister misiniz?
@Rfa