İki noktası bilinen parabol denklemi

Genel Kültür
1

iki noktası bilinen parabol denklemi

2

İki Noktası Bilinen Parabol Denklemi

Answer:
Bir parabolun grafiği, eksenlerine paralel olacak şekilde ele alındığında genel formu
$
y = ax^2 + bx + c
$
şeklindedir. Bu denklemin a, b ve c olmak üzere 3 bağımsız parametresi vardır. Dolayısıyla yalnızca iki noktası bilinirse (örneğin (x_1,y_1) ve (x_2,y_2)), elimizde 2 denklem elde ederiz ama 3 bilinmeyen olduğu için tekil (benzersiz) bir çözüm çıkmaz. Bu durumda:

  • İki noktadan geçen parabol ailesi (tek değere inmeyen bir parametre seti) vardır.
  • Tek bir parabol denklemi elde etmek için üçüncü bir koşul gerekir (örneğin tepe noktası, odak, türev değeri…).

Aşağıda önce “iki noktadan geçen bütün parabol ailesi nasıl yazılır” onun formülünü, sonra “üçüncü koşul eklendiğinde nasıl tek çözüme ulaşırız” adımlarını göreceksiniz.

Table of Contents

  1. 1. Genel Parabol Denklemi
  2. 2. İki Noktadan Elde Edilen Denklemler
  3. 3. İki Noktadan Geçen Parabol Ailesi
  4. 4. Üçüncü Koşulla Tekil Çözüm
  5. 5. Örnek Uygulama
  6. 6. Özet Tablolar

1. Genel Parabol Denklemi

  • Parabol (ekseni dikey) denklemi:
    $
    y = ax^2 + bx + c
    $
  • Parametreler: a, b, c
  • Gereken koşul sayısı: 3

2. İki Noktadan Elde Edilen Denklemler

Elimizdeki noktalar:

  • P_1(x_1,y_1)
  • P_2(x_2,y_2)

Yerine yazınca:

  1. y_1 = a\,x_1^2 + b\,x_1 + c
  2. y_2 = a\,x_2^2 + b\,x_2 + c

2 denklem – 3 bilinmeyen ⇒ Sonsuz çözüm (parametrik aile).

3. İki Noktadan Geçen Parabol Ailesi

İki noktayı ortak kök yapan tüm parabol denklemlerini şöyle yazabiliriz:

  1. İki nokta üzerinden geçen doğrunun denklemi:

    m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \quad b = y_1 - m\,x_1, \quad L(x) = m\,x + b

  2. Parabol ailesi:

    \boxed{ y \;=\; L(x)\;+\;k\,(x - x_1)\,(x - x_2) \quad\bigl(k\in\mathbb{R}\bigr) }
    • x=x_1 veya x=x_2 için ikinci terim sıfır olur ve nokta doğruda elde edilir.
    • Farklı k değerleri, iki noktadan geçen farklı parabol denklemleri oluşturur.

4. Üçüncü Koşulla Tekil Çözüm

Üçüncü bir koşul (tepe noktası, odak, eğim vs.) eklendiğinde k da belirlenir ve tek bir parabol denklemi elde edilir.

  • Tepe noktası (h,k_0) biliniyorsa:
    y = A\,(x - h)^2 + k_0
  • Odak veya direktriks bilgisi varsa, denklemi doğrudan odak–direktriks formundan yazabilirsiniz.
  • Bir noktadaki türev (eğim) bilgisi: y'(x_0)=m_0 şartı da ek denklem sağlar.

5. Örnek Uygulama

Elinizde:

  • P_1(1,2), P_2(3,4)
  • Tepe noktası: T(2,5)

Adımlar:

  1. Tepe formunu al:
    y = a\,(x - 2)^2 + 5
  2. P_1 için:
    2 = a\,(1-2)^2 + 5 \;\Rightarrow\; 2 = a + 5 \;\Rightarrow\; a = -3
  3. Son denklem:
    \boxed{y = -3\,(x - 2)^2 + 5}

6. Özet Tablolar

Aşama Denklem
Genel parabol formu y = ax^2 + bx + c
Noktaların yerleştirilmesi \begin{cases}y_1 = a x_1^2 + b x_1 + c\\y_2 = a x_2^2 + b x_2 + c\end{cases}
İki nokta doğrusu L(x) m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\;b=y_1-mx_1
Parabol ailesi y = L(x)\;+\;k\,(x - x_1)(x - x_2)
Tekil çözüm için 3. koşul ekle (Tepe, odak, türev vb.)

Sonuç:
Sadece iki nokta, tek başına bir parabolu belirlemeye yetmez; sonsuz paraboldan oluşan bir aile (tek-parametreli) vardır. Mutlaka üçüncü bir şart ile benzersiz denkleme ulaşılır. @Dersnotu