İki kenarının uzunluğu 7 birim ve 8 birim olan Şekil 1’deki üçgen biçimindeki eş ABC kartonlarından üç tanesinin A noktaları çakıştırılıp Şekil 2’deki gibi bir amblem oluşturuluyor.
Buna göre bu kartonlardan 3 tanesi Şekil 3’teki gibi C noktalarından çakıştırılırsa elde edilen amblemin çevresi kaç birim olur?
Üçgende Kosinüs Teoremi ve Eş Üçgenlerin Birleşimi ile Çevre Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir tam açının ölçüsü 360^\circ’dir. Bir üçgende iki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde üçüncü kenar Kosinüs Teoremi (a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \widehat{A}) ile bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — A Açısının Ölçüsünü ve |BC| Kenarını Bulma
Şekil 2’de üç eş kartonun A köşeleri boşluksuz ve çakışacak şekilde birleştirilerek tam açı oluşturulduğundan:
3 \cdot m(\widehat{A}) = 360^\circ \implies m(\widehat{A}) = 120^\circ
\triangle ABC’de kenarlar |AB| = 7\text{ birim} ve |AC| = 8\text{ birim} olduğundan, Kosinüs Teoremi uygulanır:
|BC|^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)
|BC|^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 56 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 113 + 56 = 169 \implies |BC| = 13\text{ birim}
Adım 2 — Şekil 3’teki Amblemin Çevre Analizi
Kartonlar C köşeleri ortak olacak şekilde ardışık olarak dizildiğinde, her bir üçgenin 8\text{ birim} uzunluğundaki kenarı (CA), bir sonraki üçgenin 13\text{ birim} uzunluğundaki kenarı (CB) üzerine binmektedir:
- En üst dış kenar: |CA| = 8\text{ birim}
- Dışarı bakan kırmızı kenarlar (3 adet): 3 \times |AB| = 3 \times 7 = 21\text{ birim}
- Üst üste binen kenarlardan açıkta kalan mavi kısımlar (2 adet): 2 \times (|CB| - |CA|) = 2 \times (13 - 8) = 2 \times 5 = 10\text{ birim}
- En alttaki tam mavi kenar: |CB| = 13\text{ birim}
Bu parçaların toplamı amblemin çevresini verir:
\text{Çevre} = 8 + 21 + 10 + 13 = 52\text{ birim}
CEVAP: C) 52 (\text{Çevre} = 52\text{ birim})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kenarları 7, 8 ve 13 birim olan üçgen, 120^\circ’lik geniş açılı meşhur bir tamsayılı üçgendir (7^2 + 8^2 + 7 \cdot 8 = 13^2). Bu kalıbı doğrudan hatırlamak işlem süresini önemli ölçüde kısaltır.