İki kenarının uzunluğu 5 birim, bir kenarının uzunluğu 6 birim olan ABC üçgeni dik koordinat düzlemine, bir kenarı x

YKS TYT
1

İki kenarının uzunluğu 5 birim, bir kenarının uzunluğu 6 birim olan ABC üçgeni dik koordinat düzlemine, bir kenarı x eksenine paralel olacak şekilde yerleştiriliyor. Daha sonra bu üçgenin üç köşesinden geçen y = f(x) parabolü çiziliyor.
Buna göre f(6) kaçtır?
A) -11
B) -9
C) -7
D) -5
E) -3

İki kenarının uzunluğu 5 birim, bir kenarının uzunluğu 6 birim olan ABC üçgeni dik...
İki kenarının uzunluğu 5 birim, bir kenarının uzunluğu 6 birim olan ABC üçgeni dik...800×954 73.7 KB

2

İki Kenarı 5 Birim, Bir Kenarı 6 Birim Olan ABC Üçgeninden Geçen Parabol Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:

  • İkizkenar Üçgende Yükseklik: Pisagor bağıntısı ile h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}
  • Tepe Noktası y Ekseni Üzerinde Olan Parabol Denklemi: f(x) = ax^2 + k

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — ABC İkizkenar Üçgeninin Yüksekliğini Bulma
|AC| = |BC| = 5\text{ birim} ve taban |AB| = 6\text{ birim} olan ikizkenar üçgende, C köşesinden tabana indirilen dikme tabanı iki eşit parçaya böler (3\text{ birim} ve 3\text{ birim}).
İndirilen dikmenin uzunluğu (h):

h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\text{ birim}

Adım 2 — Köşe Noktalarının Koordinatlarını Belirleme

  • C noktası y ekseni üzerinde ve orijine olan uzaklığı üçgenin kenar uzunluğu kadar (5\text{ birim}) olduğundan koordinatı: C(0, 5)
  • Taban [AB], x eksenine paralel ve C noktasının 4\text{ birim} aşağısında yer aldığından ordinatı: y = 5 - 4 = 1
  • y ekseni tabanı simetrik iki parçaya böldüğünden köşe koordinatları:
    A(-3, 1) \quad \text{ve} \quad B(3, 1)

Adım 3 — Parabolün Denklemini Kurma
Tepe noktası C(0, 5) olan parabolün genel denklemi:

f(x) = ax^2 + 5

Parabol B(3, 1) noktasından geçtiği için bu noktayı denklemde yerine yazalım:

f(3) = a(3)^2 + 5 = 1
9a + 5 = 1
9a = -4 \implies a = -\frac{4}{9}

Buradan parabolün kuralı:

f(x) = -\frac{4}{9}x^2 + 5

Adım 4 — f(6) Değerini Hesaplama
Bulunan fonksiyonda x = 6 yazalım:

f(6) = -\frac{4}{9}(6)^2 + 5
f(6) = -\frac{4}{9}(36) + 5
f(6) = -4 \cdot 4 + 5
f(6) = -16 + 5 = -11

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) -11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Parabolün Simetri Ekseni

  • Tanım: Bir parabolü iki eş parçaya bölen ve tepe noktasından geçen düşey doğrudur (x = r).
  • Bu problemde: Üçgen ikizkenar olduğundan ve C noktası y ekseninde bulunduğundan, simetri ekseni doğrudan y ekseni (x = 0) olmuştur.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Üçgenin Yüksekliğini Doğrudan Parabol Tepe Noktası Almak

  • Yanlış: Parabolün tepe noktasını (0, 4) alıp tabanın x ekseni üzerinde olduğunu varsaymak.
  • Doğru: Şekilde C noktasının koordinat düzlemindeki yerleşimine ve tabanın x ekseninden yüksekliğine dikkat etmek.
  • Neden yanlış: AB kenarı x eksenine paraleldir ancak x ekseninin üzerinde değildir.

Bu soru tipini pekiştirmek için tepe noktası ötelenmiş benzer bir parabol sorusu çözmemi ister misin?