EBOB-EKOK Test Sorularının Çözümleri
Soru 1
KULLANILAN FORMÜL VE KURAL:
\text{EBOB}(x, y) = d ise x = d \cdot a ve y = d \cdot b şeklinde yazılır (\text{EBOB}(a, b) = 1). Buradan iki sayının toplamı x + y = d \cdot (a + b) olur; dolayısıyla toplam mutlaka d sayısına tam bölünmelidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların modellenmesi
Sayılarımız x ve y olsun. \text{EBOB}(x, y) = 6 verildiğinden:
x = 6a
y = 6b
(a ve b aralarında asal pozitif doğal sayılardır.)
Adım 2 — Toplamın incelenmesi
x + y = 6a + 6b = 6(a + b)
Bu toplam 6’nın bir tam katı olmak zorundadır.
Adım 3 — Seçeneklerin kontrolü
- A) 24: 6 \times 4 = 24 (a=1, b=3 seçilebilir)
- B) 30: 6 \times 5 = 30 (a=2, b=3 seçilebilir)
- C) 42: 6 \times 7 = 42 (a=3, b=4 seçilebilir)
- D) 48: 6 \times 8 = 48 (a=3, b=5 seçilebilir)
- E) 50: 50 sayısı 6’ya tam bölünmez (50 = 6 \times 8 + 2).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (50)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 2
KULLANILAN FORMÜL VE KURAL:
İki doğal sayının çarpımı, bu sayıların EBOB’u ile EKOK’unun çarpımına eşittir:
a \cdot b = \text{EBOB}(a, b) \cdot \text{EKOK}(a, b)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen değerlerin formüle yerleştirilmesi
- Sayıların çarpımı: a \cdot b = 480
- \text{EBOB}(a, b) = 4
480 = 4 \cdot \text{EKOK}(a, b)
Adım 2 — EKOK değerinin hesaplanması
\text{EKOK}(a, b) = \frac{480}{4} = 120
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı (120)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 3
KULLANILAN FORMÜL VE KURAL:
a ve b aralarında asal iki doğal sayı ise:
- \text{EBOB}(a, b) = 1
- \text{EKOK}(a, b) = a \cdot b
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İfadelerin değerlerini belirleme
Aralarında asal sayıların ortak böleni yalnızca 1’dir:
\text{EBOB}(a, b) = 1
Aralarında asal sayıların en küçük ortak katı sayıların çarpımıdır:
\text{EKOK}(a, b) = a \cdot b
Adım 2 — Toplamı oluşturma
\text{EBOB}(a, b) + \text{EKOK}(a, b) = 1 + (a \cdot b) = (a \cdot b) + 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı ((a \cdot b) + 1)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 4
KULLANILAN FORMÜL VE KURAL:
a \cdot b = \text{EBOB}(a, b) \cdot \text{EKOK}(a, b)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilenlerin formüle yerleştirilmesi
- Sayılardan biri: a = 30
- Diğer sayı: b
- \text{EBOB}(a, b) = 15
- \text{EKOK}(a, b) = 90
30 \cdot b = 15 \cdot 90
Adım 2 — b sayısının bulunması
30 \cdot b = 1350
b = \frac{1350}{30} = 45
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (45)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 5
KULLANILAN FORMÜL VE KURAL:
Faktöriyelli ifadelerin ortak paranteze alınması ve ortak çarpanların EBOB kuralına göre belirlenmesi:
n! = n \cdot (n-1)!
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — A ve B sayılarının ortak çarpan parantezine alınması
- A = 4! + 5! = 4! + 5 \cdot 4! = 4!(1 + 5) = 6 \cdot 4!
- B = 5! + 6! = 5! + 6 \cdot 5! = 5!(1 + 6) = 7 \cdot 5! = 7 \cdot (5 \cdot 4!) = 35 \cdot 4!
Adım 2 — EBOB hesabının yapılması
\text{EBOB}(A, B) = \text{EBOB}(6 \cdot 4!, 35 \cdot 4!)
Her iki ifadede de 4! ortak çarpanını dışarı alalım:
\text{EBOB}(A, B) = 4! \cdot \text{EBOB}(6, 35)
Adım 3 — Aralarında asallığın kontrolü
6 ve 35 sayılarının ortak asal böleni yoktur (\text{EBOB}(6, 35) = 1).
\text{EBOB}(A, B) = 4! \cdot 1 = 4!
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (4!)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 6
KULLANILAN FORMÜL VE KURAL:
\text{EBOB}(A, B) ve \text{EKOK}(A, B) hesaplamalarında sayıların asal çarpanlarına ayrılması kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \text{EBOB}(60, 72) değerinin hesaplanması
Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
- 60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1
- 72 = 2^3 \cdot 3^2
Ortak asal çarpanların en küçük üsleri alınarak EBOB bulunur:
\text{EBOB}(60, 72) = 2^2 \cdot 3^1 = 12
Adım 2 — \text{EKOK}(4, x) = 12 eşitliğinin çözülmesi
- 4 = 2^2
- 12 = 2^2 \cdot 3^1
\text{EKOK}(2^2, x) = 2^2 \cdot 3^1 olması için:
- x’in asal çarpanlarında 3^1 kesinlikle bulunmalıdır.
- x’in 2’nin kuvveti olarak alabileceği çarpanlar 2^0, 2^1 veya 2^2 olabilir (2^3 olamaz çünkü EKOK’taki üs 2’dir).
- x’te 2 ve 3 dışında başka bir asal çarpan bulunamaz.
Adım 3 — x’in alabileceği değerlerin listelenmesi
- x = 2^0 \cdot 3^1 = 1 \cdot 3 = 3 \implies \text{EKOK}(4, 3) = 12
- x = 2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6 \implies \text{EKOK}(4, 6) = 12
- x = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12 \implies \text{EKOK}(4, 12) = 12
Adım 4 — x değerlerinin toplamı
\text{Toplam} = 3 + 6 + 12 = 21
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (21)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Sağ sayfada yer alan 7, 8 ve 9. soruların da ayrıntılı çözümlerini adım adım yapmamı ister misin?
