İki basamaklı bir doğal sayıya en yakın olan ve bu sayıdan küçük olan iki asal sayıya bu sayının küçük komşu asalları

YKS TYT
1

İki basamaklı bir doğal sayıya en yakın olan ve bu sayıdan küçük olan iki asal sayıya bu sayının küçük komşu asalları denir.
Örneğin, 10 sayısının küçük komşu asalları 7 ve 5’tir.
Buna göre, küçük komşu asallarının toplamı 42 olan sayıların toplamı kaçtır?
A) 149
B) 154
C) 159
D) 165
E) 169

İki basamaklı bir doğal sayıya en yakın olan ve bu sayıdan küçük olan iki asal sayıya...
İki basamaklı bir doğal sayıya en yakın olan ve bu sayıdan küçük olan iki asal sayıya...1024×768 116 KB

2

Asal Sayılar ve Ardışık Asal Komşuluk Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir doğal sayıdan küçük olan en yakın iki asal sayı, bu sayıdan hemen önce gelen ardışık iki asal sayıdır (p_1 < p_2 < x). Bu iki asal sayının toplamının 42 olması için p_1 + p_2 = 42 şartını sağlayan ardışık asallar bulunmalıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Toplamı 42 Olan Ardışık Asal Sayıların Belirlenmesi
42’nin yarısı 21 olduğundan, 21’e en yakın asal sayılar incelenir. Ardışık asallardan 19 ve 23 seçildiğinde:

19 + 23 = 42

19 ile 23 arasında başka asal sayı bulunmadığından, aranan küçük komşu asallar 19 ve 23’tür.

Adım 2 — Bu Şartı Sağlayan İki Basamaklı Sayıların Tespiti
Bir x doğal sayısının kendisinden küçük en yakın iki asalının 23 ve 19 olabilmesi için;

  • x sayısı 23’ten büyük olmalıdır (x > 23).
  • Bir sonraki asal sayı 29’dur. x \le 29 olduğunda kendisinden küçük olan en büyük iki asal sayı 23 ve 19 kalmaya devam eder (x = 29 iken 29’dan küçük en büyük iki asal yine 23 ve 19’dur).
  • x = 30 seçilirse, 30’dan küçük en yakın iki asal 29 ve 23 olur ve toplamları 52 yapar.

Bu durumda şartı sağlayan x değerleri:

x \in \{24, 25, 26, 27, 28, 29\}

Adım 3 — Değerlerin Toplanması
Bulunan 6 farklı doğal sayının toplamı:

24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 = 159

:white_check_mark: CEVAP: C) 159 (Sayıların toplamı = 159)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Tanımda “sayıdan küçük olan” dendiği için 29 asal sayısının da küçük komşu asalları 23 ve 19’dur. 29’un kendisi asal olsa dahi çözüme dahil edilmesi sorunun en kritik belirleyicisidir.