İki basamaklı AB, BB ve CA doğal sayıları arasında
4’ün tam katı olmayan 2,
5’in tam katı olmayan 2,
11’in tam katı olan 2
adet sayı bulunmaktadır.
Bu sayılardan hiçbiri 6’nın tam katı olmadığına göre
B’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
İki Basamaklı Sayılarda Bölünebilme Kuralları ve B’nin Değerler Toplamı
KULLANILAN FORMÜL VE BÖLÜNEBİLME KURALLARI:
- 11 ile Bölünebilme: İki basamaklı bir sayının 11’in katı olması için rakamlarının aynı olması gerekir (AA = 11 \cdot A, BB = 11 \cdot B).
- 5 ile Bölünebilme: Birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır.
- 4 ile Bölünebilme: Sayının kendisi 4’ün tam katı olmalıdır.
- 6 ile Bölünebilme: Sayı hem 2 hem de 3 ile tam bölünmelidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların 11’in Katı Olma Durumunun Belirlenmesi
AB, BB ve CA sayılarından BB sayısı her durumda 11’in tam katıdır (BB = 11 \cdot B).
Toplamda 2 adet 11’in katı sayı bulunduğu için AB veya CA sayılarından yalnızca biri 11’in katı olmalıdır.
- CA sayısının 11’in katı olması için C = A olmalıdır.
- Böylece sayılarımız: AB, BB ve AA haline gelir (A \neq B).
Adım 2 — 5’in Katı Olma Şartının İncelenmesi
3 sayıdan 5’in katı olmayan 2 sayı varsa, tam olarak 1 sayı 5’in katı olmalıdır.
- B = 5 olsaydı, hem AB (A5) hem de BB (55) olmak üzere 2 sayı 5’in katı olurdu. Bu durum şartı bozar.
- Dolayısıyla 5’in katı olan sayı AA olmalıdır \implies A = 5.
- Sayılarımız: 5B, BB ve 55 olur (B \neq 0 ve B \neq 5).
Adım 3 — 4’ün Katı Olma Şartının İncelenmesi
3 sayıdan 4’ün katı olmayan 2 sayı varsa, tam olarak 1 sayı 4’ün katı olmalıdır.
55 tek sayı olduğundan 4’e bölünemez. O halde ya 5B ya da BB sayısı 4’ün katı olmalıdır:
- Durum 1 (5B sayısı 4’ün katı ise): B \in \{2, 6\} olabilir.
- Durum 2 (BB sayısı 4’ün katı ise): B \in \{4, 8\} olabilir.
Adım 4 — 6’nın Katı Olmama Şartının Kontrolü ve B’nin Değerleri
Sayıların hiçbirinin 6’nın tam katı olmaması gerekir:
- B = 2 için: Sayılar 52, 22, 55 olur. Hiçbiri 6’ya bölünmez. (B = 2 uygundur)
- B = 6 için: Sayılar 56, 66, 55 olur. 66 sayısı 6’nın katı olduğundan (B = 6 elenir)
- B = 4 için: Sayılar 54, 44, 55 olur. 54 sayısı 6’nın katı (6 \times 9 = 54) olduğundan (B = 4 elenir)
- B = 8 için: Sayılar 58, 88, 55 olur. Hiçbiri 6’ya bölünmez. (B = 8 uygundur)
Adım 5 — B’nin Alabileceği Değerler Toplamı
B’nin alabileceği geçerli değerler 2 ve 8’dir:
2 + 8 = 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. İki Basamaklı Sayılarda 11 ile Bölünebilme
- Tanım: İki basamaklı bir sayının 11’e tam bölünebilmesi için onlar ve birler basamağındaki rakamların birbirine eşit olması gerekir.
- Bu problemde: BB ve AA sayılarının 11’in katı olması sağlanarak C = A bağıntısı elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
6’ya Bölünebilme Şartını Atlamak
- Yanlış: B için bulunan \{2, 4, 6, 8\} değerlerinin tamamını toplamak.
- Doğru: B = 6 için 66 ve B = 4 için 54 sayılarının 6’nın tam katı olduğunu fark edip bu değerleri elemek.
- Neden yanlış: Soru kökünde “hiçbiri 6’nın tam katı olmadığına göre” kısıtlaması yer almaktadır.
Bu tarz bölünebilme kuralları ve mantık sorularını pekiştirmek için benzer bir soru çözmemi ister misin?