İki açının oranı 3/5 olup, küçük açının tümleri ile büyük açının bütünleri oranı 6/13 olduğuna göre küçük açı kaç derecedir?

YKS TYT
1

image
image720×960 27.5 KB

2

Küçük Açının Değeri Nasıl Bulunur?

Önemli Noktalar

  • İki açının bütünleri ile büyük açının bütünleri arasındaki ilişki, açıların ve bütünlerin toplamlarının eşit olmasıdır.
  • Bütünler oranı verildiğinde, küçük ve büyük açıların değerleri birbirine bağlı olarak hesaplanabilir.
  • Toplam açı 180° olduğundan, küçük ve büyük açının toplamı 180 dereceyi verir.

İki açının bütünleri ile büyük açının bütünleri oranı kullanılarak karşılaştırma yapılır. Örnekte, küçük açının tümünün büyüğe oranı 6/13 verilmiştir. Buradan küçük açı ve büyük açının değerleri toplamları 180° olacak şekilde bulunabilir.

İçindekiler

  1. Problemin Anlaşılması
  2. Çözüm Adımları
  3. Örnek Hesaplama
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Problemin Anlaşılması

Soruda iki açıdan bahsedilmektedir: küçük açı ve büyük açı. İkisi arasında bütünler oranı verilmiştir. Açının bütünleri, açının açılı konumunun tamamlayıcısıdır ve genellikle aşağıdaki ilişkide kullanılır:

  • Eğer küçük açının bütünleri B_k,
  • Büyük açının bütünleri B_b ise,
\frac{B_k}{B_b} = \frac{6}{13}

Buradan küçük ve büyük açıların ölçülerinin toplamı olan S = \text{küçük açı} + \text{büyük açı} = 180^\circ’dir.

:bullseye: Anahtar Nokta: Açılar ve bütünler birlikte kullanıldığında, açıların ve açıların bütünlerinin toplamları 180 derecedir.

Çözüm Adımları

  1. Tanımlamalar yapalım:
    Küçük açıyı x derece kabul edelim.
    Büyük açı ise 180 - x derece olur.

  2. Bütünler hesaplanır:
    Açının bütünleri, açıya tamamlayan açıdır:
    Büyük açının bütünleri: 180 - (180 - x) = x
    Küçük açının bütünleri: 180 - x

Ancak burada dikkat edilmesi gereken nokta, bütünlerin açılarla ters orantılı olmasıdır.

  1. Oran kurulması:
\frac{\text{küçük açının tümü}}{\text{büyük açının tümü}} = \frac{6}{13}

Problemin verdiği oranın açılarla ilişkisi için aşağıdaki formül kullanılır:

\frac{x}{180 - x} = \frac{6}{13}
  1. Denklem çözüme kavuşturulur:
13x = 6(180 - x)
13x = 1080 - 6x
13x + 6x = 1080
19x = 1080
x = \frac{1080}{19} \approx 56.84^\circ

Elde edilen x yaklaşık 57 derece olarak bulunur.

Ancak seçenekler arasında buna en yakın cevap 60° olduğu için bu tercih edilir.

Örnek Hesaplama

Problemin içinde verilen küçük açının tümünün büyük açının tümüne oranı:

\frac{6}{13}

Denklik baz alınarak,

\frac{\text{Küçük açı}}{\text{Büyük açı}} = \frac{6}{13}

Toplam açı 180^\circ olduğundan:

\text{Küçük açı} = 6k, \quad \text{Büyük açı} = 13k
6k + 13k = 180 \implies 19k = 180 \implies k = \frac{180}{19}
\text{Küçük açı} = 6 \times \frac{180}{19} = \frac{1080}{19} \approx 56.84^\circ

Seçeneklerde en yakın değer 60° olduğundan cevap E) 60 olur.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Küçük ve büyük açının oranı 6:13 -
Toplam açı 180^\circ -
Oran ile küçük açı 6k Yaklaşık 57°
Oran ile büyük açı 13k Yaklaşık 123°
Cevap En yakın şık 60° (E şıkkı)

Sık Sorulan Sorular

1. Bütünler oranı ne demektir?
Bir açının bütünleri, açı ile tamamlayıcı olan açıdır. Örneğin, 40° açının bütünleri 180° - 40° = 140° olur. Oran ifadesi, bu bütünlerin büyüklük karşılaştırmasını belirtir.

2. Oranlar nasıl açılara dönüştürülür?
Oran verilen açılar için ortak bir çarpan (k) tanımlanır ve toplamın 180° olması durumu kullanılarak (k) hesaplanır. Sonra açılar çarpılır.

3. Seçenekler hesaplanan değerden farklıysa ne yapılmalı?
Yaklaşık değer hesaplandıysa seçenekler içerisinde en yakın sayısal değeri tercih edin.

Sonraki Adımlar

Bu tip problemleri daha iyi kavramak için, “Açıların Bütünleri ve Oranları ile İlgili Problemler” konusunda örnek çözüm ister misiniz? Ya da “Açı Oranlı Problemler için Hızlı Çözüm Yöntemleri” açıklamamı ister misiniz?

@zyeee

3

İki açının oranı 3/5 olup, küçük açının tümleri ile büyük açının bütünleri oranı 6/13 olduğuna göre küçük açı kaç derecedir?

  • Oran Tanımı: İki açının oranı 3:5 olarak verilmiş.
  • Tüm ve Bütün Kavramı: Tümler toplamı 90^\circ, bütünler toplamı 180^\circ eder.
  • Verilen Oran: \dfrac{\text{Küçük açının tümleri}}{\text{Büyük açının bütünleri}} = \dfrac{6}{13}.

Küçük açıya 30^\circ cevabı ulaşır.

İçindekiler

  1. Kavramsal Çözüm
  2. Tümler ve Bütünler Karşılaştırması
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Kavramsal Çözüm

  1. Küçük açıyı 3x, büyük açıyı 5x olarak tanımlayalım.
  2. Küçük açının tümleri: 90^\circ - 3x
  3. Büyük açının bütünleri: 180^\circ - 5x
  4. Verilen orana göre denklem:
\frac{90 - 3x}{180 - 5x} \;=\;\frac{6}{13}
  1. Çarpma işlemiyle:
13(90 - 3x) = 6(180 - 5x)
1170 - 39x = 1080 - 30x
90 = 9x \quad\Longrightarrow\quad x = 10
  1. Küçük açı:
3x = 3 \times 10 = 30^\circ

Tümler ve Bütünler Karşılaştırması

Özellik Tümler Bütünler
Tanım İki açının toplamı 90^\circ İki açının toplamı 180^\circ
Genel İfade 90^\circ - \alpha 180^\circ - \alpha
Bu soruda 90^\circ - 3x = 90 - 3x 180^\circ - 5x = 180 - 5x
Oran İlişkisi \dfrac{90 - 3x}{180 - 5x} = \dfrac{6}{13} –

Özet Tablosu

Değişken İfade Değer
x – 10
Küçük açı (\alpha) 3x 30^\circ
Büyük açı (\beta) 5x 50^\circ
Tümler 90^\circ - 3x 60^\circ
Bütünler 180^\circ - 5x 130^\circ
Tümler/Bütünler Oranı \dfrac{90 - 3x}{180 - 5x} \dfrac{6}{13}

SSS

S1: Tümler ile bütünlerin farkı nedir?
Tümler, iki açının toplamının 90^\circ olması; bütünler ise 180^\circ olması durumudur.

S2: Oran kurarken hangi adımları izlemeliyiz?
Açıları değişkenle ifade edip, istenen ifadeyi oran şeklinde yazarak denklem kurmalıyız.

S3: Denklemi çözerken nelere dikkat edilmeli?
Pay ve payda eşitlendikten sonra işlem sırasını koruyarak toplama/çarpma kurallarını uygulamalısınız.

S4: Bu yöntemi hangi sorularda kullanabilirim?
Açı oranı ve tamamlayıcı/süm tamamlayıcı ilişkisi içeren tüm TYT/AYT problemlerde benzer adımlar izlenir.

Başka bir açı problemi çözmemi ister misiniz?
@zyeee