\frac{\sin 60^\circ + \cos 60^\circ}{\tan 40^\circ \cdot \tan 50^\circ} ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) \frac{1}{2}
B) 1
C) \frac{\sqrt{3}}{2}
D) \frac{\sqrt{3}-1}{2}
E) \frac{\sqrt{3}+1}{2}
12.
I.
\sin 120^\circ + \tan 45^\circ = 1
II.
\cot 120^\circ + \tan 150^\circ = -\frac{2\sqrt{3}}{3}
III.
\sin 135^\circ + \cos 135^\circ = 0
Yukarıda verilen eşitliklerden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) II ve III
E) I, II ve III
Trigonometride Özel Açılar ve Tümler/Bütünler Açı Bağıntıları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Tümler Açılar: Toplamları 90^\circ olan açıların tanjant ve kotanjant değerleri birbirine eşittir (\tan(90^\circ - \alpha) = \cot \alpha) ve \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1’dir.
- Bütünler Açılar (2. Bölge): İkinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir:
\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha, \quad \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha
\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha, \quad \cot(180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha
ÇÖZÜM ADIMLARI
11. Sorunun Çözümü:
Adım 1 — Payın Değerini Hesaplama
30^\circ - 60^\circ - 90^\circ özel üçgeninden bilinen temel trigonometrik değerler yazılır:
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{ve} \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}
\text{Pay} = \sin 60^\circ + \cos 60^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}
Adım 2 — Paydanın Değerini Hesaplama
40^\circ ile 50^\circ tümler açılar olduğundan \tan 50^\circ = \cot 40^\circ olur:
\text{Payda} = \tan 40^\circ \cdot \tan 50^\circ = \tan 40^\circ \cdot \cot 40^\circ = 1
Adım 3 — Oranı Bulma
\frac{\sin 60^\circ + \cos 60^\circ}{\tan 40^\circ \cdot \tan 50^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}
- 11. Soru Cevabı: E) \frac{\sqrt{3} + 1}{2}
12. Sorunun Çözümü:
I. Öncül Analizi:
- \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
- \tan 45^\circ = 1
- \sin 120^\circ + \tan 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \neq 1
(Yanlış)
II. Öncül Analizi:
- \cot 120^\circ = -\cot 60^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}
- \tan 150^\circ = -\tan 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}
- \cot 120^\circ + \tan 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} + \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{2\sqrt{3}}{3}
(Doğru)
III. Öncül Analizi:
-
\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
-
\cos 135^\circ = -\cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}
-
\sin 135^\circ + \cos 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0 (Doğru)
-
12. Soru Cevabı: D) II ve III
CEVAP:
- 11. Soru: E) \frac{\sqrt{3}+1}{2}
- 12. Soru: D) II ve III
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İkinci bölgeye düşen açılarda en çok işaret hatası yapılır. Bu bölgede yalnızca sinüsün işareti pozitif (+); kosinüs, tanjant ve kotanjantın işaretleri negatiftir (-). \sin 135^\circ ve \cos 135^\circ mutlak değerce eşit fakat zıt işaretli olduğu için toplamları daima sıfırdır.
