Şekilde kenar uzunlukları verilen ABCD karesinin alanı, KLMN dikdörtgeninin alanının kaç katıdır?
Sorunun Anlamı:
ABCD karesi ve KLMN dikdörtgeninin kenar uzunlukları verilmiş. Bu iki şeklin alanlarını hesaplayıp, ABCD karesinin alanının KLMN dikdörtgeninin alanının kaç katı olduğunu bulmamız isteniyor.
Verilenler:
| Şekil | Kenar Uzunlukları |
|---|---|
| ABCD karesi | AB = 10^7 cm |
| KLMN dikdörtgeni | KL = 5^{10} cm, KN = 4^5 cm |
Çözüm Adımları:
1. ABCD karesinin alanı:
Karenin alanı, bir kenarının karesine eşittir.
\text{Alan}_{ABCD} = (10^7)^2 = 10^{14} \quad \text{cm}^2
2. KLMN dikdörtgeninin alanı:
Dikdörtgenin alanı, iki kenarın çarpımıdır.
\text{Alan}_{KLMN} = 5^{10} \times 4^5
Burada üsleri sadeleştirmek için 4’ü ve 5’i asal çarpanlarına ayıralım:
- 4 = 2^2 olduğundan,
4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}
- 5^{10} zaten asal tabanlıdır.
O halde,
\text{Alan}_{KLMN} = 5^{10} \times 2^{10} = (5 \times 2)^{10} = 10^{10}
3. Alanların oranı:
\frac{\text{Alan}_{ABCD}}{\text{Alan}_{KLMN}} = \frac{10^{14}}{10^{10}} = 10^{14 - 10} = 10^4 = 10000
Sonuç:
ABCD karesinin alanı, KLMN dikdörtgeninin alanının 10.000 katıdır.
Özet Tablosu
| Şekil | Alan Hesabı | Alan (cm²) |
|---|---|---|
| ABCD karesi | (10^7)^2 = 10^{14} | 10^{14} |
| KLMN dikdörtgeni | 5^{10} \times 4^5 = 10^{10} | 10^{10} |
| Alan Oranı | \frac{10^{14}}{10^{10}} = 10^4 | 10.000 kat |
Eğer başka sorularınız varsa, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! @Eia_Akbaba
Soru:
Şekilde kenar uzunlukları verilen ABCD karesinin alanı, KLMN dikdörtgeninin alanının kaç katıdır?
İçindekiler
- Soru Metni ve Şekil Analizi
- Karenin Alan Formülü
- Dikdörtgenin Alan Formülü
- Üs Kuralları ile Hesaplama
- Alanların Oranının Bulunması
- Özet Tablo
- Sonuç
1. Soru Metni ve Şekil Analizi
Soruda iki farklı düzlem geometrik şekil var:
- ABCD bir kare.
- KLMN bir dikdörtgen.
Şekilde verilen ölçüler:
• Kare ABCD’nin bir kenarı: AB = 10^7\text{ cm}.
• Dikdörtgen KLMN’nin kısa kenarı: KN = 4^5\text{ cm}.
• Dikdörtgen KLMN’nin uzun kenarı: KL = 5^{10}\text{ cm}.
Amacımız, karenin alanının dikdörtgenin alanına oranını yani “kaç katıdır?” sorusunu cevaplamak.
2. Karenin Alan Formülü
Bir karenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesi ile bulunur:
A_{\text{kare}} = \text{kenar}^2
Burada kenar = 10^7\text{ cm} olduğundan:
A_{\text{kare}} = (10^7)^2 = 10^{7 \times 2} = 10^{14}\,\text{cm}^2
Böylece ABCD karesinin alanı 10^{14}\text{ cm}^2 olarak bulunur.
3. Dikdörtgenin Alan Formülü
Bir dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir:
A_{\text{dikdörtgen}} = \text{kısa kenar} \times \text{uzun kenar}
Burada;
- Kısa kenar = 4^5\text{ cm}
- Uzun kenar = 5^{10}\text{ cm}
Dolayısıyla:
A_{\text{dikdörtgen}} = 4^5 \times 5^{10}
4. Üs Kuralları ile Hesaplama
Öncelikle 4^5 ifadesini ve çarpımda üs kurallarını kullanarak sadeleştirelim:
- 4^5 = (2^2)^5 = 2^{2 \times 5} = 2^{10}
- Dikdörtgen alanı:
4^5 \times 5^{10} = 2^{10} \times 5^{10} - Aynı üs sayısına sahip çarpanlar birleştirilebilir:
2^{10} \times 5^{10} = (2 \times 5)^{10} = 10^{10}
Bu adımla KLMN dikdörtgeninin alanı 10^{10}\text{ cm}^2 olarak bulunur.
5. Alanların Oranının Bulunması
Şimdi karenin alanını dikdörtgenin alanına bölelim:
\text{Oran} = \frac{A_{\text{kare}}}{A_{\text{dikdörtgen}}} = \frac{10^{14}}{10^{10}} = 10^{14 - 10} = 10^4 = 10000
Yani ABCD karesinin alanı, KLMN dikdörtgeninin alanının 10000 kâtıdır.
6. Özet Tablo
| Şekil | Kenar Uzunlukları | Alan Hesabı | Alan (\text{cm}^2) |
|---|---|---|---|
| Kare ABCD | 10^7 cm | (10^7)^2 = 10^{14} | 10^{14} |
| Dikdörtgen KLMN | 4^5, 5^{10} cm | 4^5\cdot5^{10} = 2^{10}\cdot5^{10} =10^{10} | 10^{10} |
| Alan Oranı | \dfrac{10^{14}}{10^{10}} = 10^4 | 10000 kat |
7. Sonuç
ABCD karesinin alanı, KLMN dikdörtgeninin alanının 10000 katıdır.
Bu sonuca ulaşırken
- Karenin alan formülü (\text{kenar}^2),
- Dikdörtgenin alan formülü (kısa kenar × uzun kenar),
- Üs kuralları (güçlerin çarpımında tabanları çarpma, üslerin toplanması vb.)
kullanılmıştır.
Her adımı dikkatle izleyerek benzer üs problemlerini de kolayca çözebilirsiniz.