- B
değeri kaçtır?
ifadesinin
x = 0 için
E) 11!
D) 10!
C) 0
B)-10!
A)-11!
Soru Fotoğrafı:
İfadesinin x = 0 için değeri nedir?
Verilen ifade, bir fonksiyonun 10. türevini anlamaya yönelik. İfade:
\frac{d^{10}}{dx^{10}} \left( \frac{x}{x-1} \right)
İfadenin x=0 için değeri isteniyor.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Fonksiyonu sadeleştirme
f(x) = \frac{x}{x-1} = \frac{x-1+1}{x-1} = 1 + \frac{1}{x-1}
Yani,
f(x) = 1 + (x-1)^{-1}
Adım 2 — Türevi alma
Sabit olan 1 'in türevleri sıfır olur. Bu yüzden sadece
g(x) = (x-1)^{-1}
fonksiyonun 10. türevini alacağız.
Genel türev kuralı:
\frac{d^n}{dx^n} (x - a)^m = m (m-1) (m-2) \cdots (m-n+1) (x - a)^{m-n} = (m)_{n} (x - a)^{m-n}
Burada (m)_n = m (m-1) \cdots (m-n+1) düşen faktöriyel olarak adlandırılır.
Adım 3 — Parametreleri yerine koyma
Bizde m = -1 , a = 1 , ve n = 10 .
Buna göre:
g^{(10)}(x) = (-1)(-2)(-3) \cdots (-10) (x-1)^{-1 - 10} = (-1)^{10} (10!) (x - 1)^{-11}
Çünkü
(-1)(-2)(-3) \cdots (-10) = (-1)^{10} \times 10! = 10!
(-1)^{10} = 1 .
Yani,
g^{(10)}(x) = 10! (x - 1)^{-11}
Adım 4 — Sonucu x=0 için hesaplama
g^{(10)}(0) = 10! (0 -1)^{-11} = 10! \times (-1)^{-11}
(-1)^{-11} = \frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1
Sonuç:
g^{(10)}(0) = 10! \times (-1) = -10!
Adım 5 — Başlangıca dönüş
f^{(10)}(x) = g^{(10)}(x) olduğuna göre:
f^{(10)}(0) = -10!
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: \boxed{-10!}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Seçeneklerden bu, B şıkkına denk gelir.
Temel Kavramlar:
- Türev (Derivative): Bir fonksiyonun değişim hızını veren matematiksel işlem.
- Üst türev (n’inci türev): Fonksiyonun türevini n kere alma işlemi.
- Düşen faktöriyel: m değerinden başlayıp m-n+1’e kadar azalan çarpımlar.
- Üstel fonksiyon türev kuralı: \frac{d^n}{dx^n} (x - a)^m = (m)_n (x - a)^{m-n} .
Yaygın hata:
- Türev alırken işaret yanlış hesaplanabilir, özellikle negatif üslerde. Burada işaret ve faktöriyel katsayısı dikkatle hesaplanmalı.
Başka bir örnek ister misin? 
(d^{10}/dx^{10}) \displaystyle\left(\frac{x}{x-1}\right) ifadesinin x=0 için değeri kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Geometrik seri: \displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n (|x|<1)
- Güç serisinin terim-terim türevlenmesi ve \displaystyle\frac{d^m}{dx^m}x^k=0 (k<m), \displaystyle\frac{d^m}{dx^m}x^m=m!
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İfadeyi seriye aç
\frac{x}{x-1}
= -\frac{x}{1-x}
= -x\cdot\frac{1}{1-x}
= -x\cdot\sum_{n=0}^{\infty}x^n
= -\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}
= -\sum_{k=1}^{\infty}x^{k}
Adım 2 — 10. türevi al ve x=0 'de değerlendir
Bir terim için:
Tanım: \displaystyle\frac{d^{10}}{dx^{10}}x^{k}
Bu problemde: ancak k=10 için x=0’de sıfırdan farklı katkı olur.
Bir terimin türevi:
\frac{d^{10}}{dx^{10}}x^{k}
=0 \quad (k<10)
=\;10! \quad (k=10)
Tüm serinin 10. türevi (terim-terim türevlenir):
\frac{d^{10}}{dx^{10}}\left(-\sum_{k=1}^{\infty}x^{k}\right)
= -\sum_{k=1}^{\infty}\frac{d^{10}}{dx^{10}}x^{k}
= -\bigl( \text{sadece }k=10\text{ terimi katkı verir} \bigr)
= -\,10!
CEVAP: -10!
TEMEL KAVRAMLAR:
- Geometrik seri
- Tanım: \displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n
- Bu problemde: \displaystyle\frac{x}{x-1}=-x\cdot\frac{1}{1-x} şeklinde açıldı.
- Güç serisinin türevlenmesi
- Tanım: Güç serileri uygun bölgede terim-terim türevlenebilir.
- Bu problemde: 10. türev, yalnızca x^{10} teriminden 10! katkı aldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hata: Doğrudan cebirsel türev uygulayıp katsayıları karıştırmak.
- Yanlış: Tüm terimlerin türevinin 10! ile çarpıldığını düşünmek.
- Doğru: Sadece derece 10 olan terimin 10! katkısı vardır; daha düşük dereceliler sıfır verir.
- Düzeltme: Fonksiyonu seriye açıp uygun terimi bul.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?