İfadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 35/9
B) 35/8
C) 5
D) 35/6
E) 35/4
Üslü İfadenin Eşitini Bulma
KULLANILAN FORMÜLLER:
Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken, ifadeler en küçük üsse sahip terimin parantezine alınır:
- a^{x+y} = a^x \cdot a^y
- a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İfadeyi Ortak Paranteze Hazırlama
Sorudaki ifade: $$\frac{3^{n+1} + 3^{n+2} - 3^{n-1}}{3^{n+1} - 3^{n-1}}$$
Pay ve paydadaki en küçük üs n-1 olduğu için tüm terimleri 3^{n-1} cinsinden yazalım:
- 3^{n+1} = 3^{n-1} \cdot 3^2
- 3^{n+2} = 3^{n-1} \cdot 3^3
- 3^{n-1} = 3^{n-1} \cdot 1
Adım 2 — Pay ve Paydayı Ortak Paranteze Alma
Pay kısmını 3^{n-1} parantezine alalım:
3^{n-1} \cdot (3^2 + 3^3 - 1) = 3^{n-1} \cdot (9 + 27 - 1) = 3^{n-1} \cdot 35
Payda kısmını 3^{n-1} parantezine alalım:
3^{n-1} \cdot (3^2 - 1) = 3^{n-1} \cdot (9 - 1) = 3^{n-1} \cdot 8
Adım 3 — Sadeleştirme ve Sonucu Bulma
Bulduğumuz değerleri yerini koyalım:
\frac{3^{n-1} \cdot 35}{3^{n-1} \cdot 8}
Burada 3^{n-1} terimleri birbirini sadeleştirir. Geriye kalan ifade:
\frac{35}{8}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 35/8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Üslü Sayılarda Paranteze Alma
- Tanım: Üslü ifadelerde toplama/çıkarma yapılırken ortak çarpan aranır.
- Bu problemde: Pay ve payda aynı tabana (3) sahip olduğu için en küçük üs baz alınarak sadeleştirme yapılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Üsleri Doğrudan Toplamak
- Yanlış: Paydaki üsleri kendi arasında toplayıp (n+1+n+2-n+1) işlem yapmak.
- Doğru: Üslü sayılarda toplama işlemi sadece ortak parantez yoluyla katsayılar arasında yapılır.
- Neden Yanlış: Üsler sadece çarpma işleminde toplanır, toplama işleminde değil.
Bu tür sorularda n yerine 1 gibi küçük bir değer vererek de sonucu hızlıca doğrulayabilirsin. Benzer bir yöntemle diğer üslü sayı sorularını çözmemi ister misin?