İfadesinin değeri kaçtır?

YKS TYT
1

SÖRNEK 40
sintarccot3)
ifadesinin değeri kaçtır?
D)
B)

SÖRNEK 40 sintarccot3) ifadesinin değeri kaçtır?
SÖRNEK 40 sintarccot3) ifadesinin değeri kaçtır?1024×768 93.1 KB

2

Trigonometrik ve Ters Trigonometrik İfadenin Değeri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha
  • \operatorname{arccot}(x) = \alpha \iff \cot\alpha = x \quad (\alpha \in (0, \pi))
  • \cos^2\alpha = \frac{\cot^2\alpha}{1 + \cot^2\alpha}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Ters Trigonometrik Fonksiyonu Bir Açı Olarak Tanımlama
Ters trigonometrik ifadeye bir açı değişkeni atayalım:

\operatorname{arccot} 3 = \alpha \implies \cot\alpha = 3

\cot\alpha > 0 olduğundan \alpha açısı 1. bölgededir (0 < \alpha < \frac{\pi}{2}).

Adım 2 — İfadeyi İndirgeme Formülü ile Düzenleme
Soruda verilen ifadeyi \alpha cinsinden yazalım ve tümler/bölge indirgeme kuralını uygulayalım:

\sin^2\left(\frac{\pi}{2} + \operatorname{arccot} 3\right) = \sin^2\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)

\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha olduğuna göre:

\left[\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\right]^2 = \cos^2\alpha

Adım 3 — Dik Üçgen Yardımıyla \cos\alpha Değerini Bulma
\cot\alpha = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Karşı Dik Kenar}} = \frac{3}{1} değerini veren bir dik üçgen çizelim:

  • Karşı kenar = 1
  • Komşu kenar = 3
  • \text{Hipotenüs} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}

Buradan kosinüs değeri:

\cos\alpha = \frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{3}{\sqrt{10}}

Adım 4 — Karesini Alarak Sonuca Ulaşma
İstenen değer \cos^2\alpha olduğuna göre:

\cos^2\alpha = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{9}{10}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E — \frac{9}{10}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • \operatorname{arccot} x Fonksiyonu: Kotanjantı x olan açıyı verir. Tanım gereği bir açı belirtir ve daima bir değişken (\alpha, \theta) atanarak çözülür.
  • Açı İndirgeme: \frac{\pi}{2} ve \frac{3\pi}{2} kullanıldığında fonksiyon isim değiştirir (\sin \leftrightarrow \cos).

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) ifadesini isim değiştirmeden doğrudan \sin\alpha olarak almak ve sonucu \sin^2\alpha = \frac{1}{10} (B seçeneği) bulmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: \frac{\pi}{2} + \alpha açısı 2. bölgededir, 2. bölgede sinüs pozitif olduğundan \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = +\cos\alpha olur.

Bu tür ters trigonometrik fonksiyon içeren benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?