In3
2.
69, 12
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
B)
loa
lns
C)o
D) 3
E) 1
Logaritmada Taban Değiştirme ve Sadeleştirme
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\frac{1}{\log_a b} = \log_b a \quad \text{ve} \quad \frac{\ln b}{\ln a} = \log_a b
\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Birinci terimi taban değiştirme kuralı ile düzenleme
Kesirli logaritma ifadesinde taban ile logaritması alınan sayının yerini değiştirerek paya alalım:
\frac{1}{\log_4 12} = \log_{12} 4
Adım 2 — İkinci terimi aynı tabanda yazma
Doğal logaritma (\ln) tabanında verilen oran, taban değiştirme kuralının tersi kullanılarak 12 tabanında tek bir logaritma olarak ifade edilebilir:
\frac{\ln 3}{\ln 12} = \log_{12} 3
Adım 3 — İfadeleri toplama ve sonucu bulma
Her iki terim de 12 tabanına dönüştüğüne göre, logaritmaların toplamını çarpım biçiminde yazabiliriz:
\log_{12} 4 + \log_{12} 3 = \log_{12} (4 \cdot 3) = \log_{12} 12 = 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Taban Değiştirme Kuralı: \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} eşitliğidir. Pay ve payda aynı tabanda (burada e tabanı yani \ln) olduğunda, paydayı taban, payı argüman yaparak \log_{12} 3 şeklinde toparlayabiliriz.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: \frac{\ln 3}{\ln 12} ifadesini sadeleştirip \ln\left(\frac{3}{12}\right) ya da \ln\left(\frac{1}{4}\right) yazmak.- Doğru Yaklaşım: Logaritmaların bölümü, bölümlerin logaritmasına eşit değildir; bu ifade taban değiştirme kuralıdır (\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a).
Bu soru türünü pekiştirmek için taban değiştirme kuralıyla ilgili benzer bir örnek daha çözmek ister misin?