1.80
2x-3
ifadesinin bileşik kesir olması için x kaç farklı tam sayı
değeri alabilir?
A) 3
B) 6
D) 12
-2
E) 16
c)9
\frac{15}{2x-3} İfadesinin Bileşik Kesir Olmasını Sağlayan x Tam Sayı Değerleri
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir \frac{a}{b} rasyonel ifadesinin bileşik kesir olabilmesi için payın mutlak değerinin, paydanın mutlak değerinden büyük veya eşit olması ve paydanın sıfırdan farklı olması gerekir:
|a| \ge |b| \quad \text{ve} \quad b \neq 0
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bileşik Kesir Eşitsizliğini Kurma
Verilen \frac{15}{2x-3} ifadesinde pay 15, payda 2x-3’tür. Bileşik kesir tanımına göre:
|2x-3| \le 15 \quad \text{ve} \quad 2x-3 \neq 0
Adım 2 — Mutlak Değerli Eşitsizliği Açma
Mutlak değer özelliğinden yararlanarak eşitsizliği çift taraflı yazalım:
-15 \le 2x - 3 \le 15
Adım 3 — x Değişkenini Yalnız Bırakma
Eşitsizliğin her tarafına +3 ekleyelim:
-15 + 3 \le 2x \le 15 + 3
-12 \le 2x \le 18
Her tarafı 2’ye bölelim:
-6 \le x \le 9
Adım 4 — Paydanın Sıfır Olma Durumunu Kontrol Etme
Payda 2x-3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} olur. x bir tam sayı olarak arandığı için \frac{3}{2} bir tam sayı değildir ve çözüm kümesindeki hiçbir tam sayı paydayı sıfır yapmaz.
Adım 5 — Tam Sayı Değerlerini Sayma
-6 \le x \le 9 aralığındaki tam sayılar:
\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}
Terim sayısı formülü:
\text{Terim Sayısı} = \text{Son Terim} - \text{İlk Terim} + 1
\text{Terim Sayısı} = 9 - (-6) + 1 = 9 + 6 + 1 = 16
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 16
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Bileşik Kesir
- Tanım: Payının mutlak değeri paydasının mutlak değerine eşit veya paydasından büyük olan (|a| \ge |b|) kesirlere bileşik kesir denir.
- Bu problemde: Pay 15 olduğundan payda olan |2x-3| ifadesi 15’ten küçük veya eşit olmalıdır.
2. Kesirde Tanımlılık
- Tanım: Bir rasyonel ifadede payda hiçbir zaman sıfır olamaz (b \neq 0).
- Bu problemde: 2x-3 \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{2} şartı tam sayı değerleri için otomatik olarak sağlanır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Negatif Değerleri Unutmak
- Yanlış: Sadece 2x-3 \le 15 diyerek x \le 9 almak ve pozitif değerlerle sınırlı kalmak.
- Doğru: Bileşik kesir tanımında işaret değil büyüklük önemli olduğu için mutlak değer kullanılır (-15 \le 2x-3 \le 15).
- Neden yanlış: Örneğin x = -6 için kesir \frac{15}{-15} = -1 olur ve |{-1}| = 1 olduğundan bu da bir bileşik kesirdir.
Bileşik kesir ve basit kesir eşitsizlikleriyle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?