TYT/TEM
(a- 1)n
ifadesi a’nın azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan
10. terim ile sondan 5. teriminin katsayılari eşittir.
Buna göre a li terimin katsayısı kaçtır?
A) -78
B)
-66
C)-55
D) 7 78
E) 91
Soru Fotoğrafı:
(a-1)^n açılımında, baştan 10. terim ile sondan 5. terimin katsayıları eşitse, önce $n$’i buluruz; sonra $a^2$’li terimin katsayısını hesaplarız.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Terim sayısını yazalım
(a-1)^n açılımında toplam terim sayısı n+1’dir.
Adım 2 — Baştan 10. terimin derecesini bulalım
Baştan 10. terim:
T_{10} = \binom{n}{9}a^{n-9}(-1)^9
Bu terimin katsayısı:
-\binom{n}{9}
Adım 3 — Sondan 5. terimin derecesini bulalım
Sondan 5. terim, baştan
(n+1)-5+1 = n-3
. terimdir.
Yani bu terim:
T_{n-3}=\binom{n}{n-4}a^4(-1)^{n-4}
Katsayısı:
\binom{n}{4}(-1)^{n-4}
Adım 4 — Katsayıları eşitleyelim
Soruda katsayılar eşit deniyor:
-\binom{n}{9}=\binom{n}{4}(-1)^{n-4}
Buradan işaretlerin zıt olması gerekir. TYT’de bu tip sorularda eşitlikten
n=13
bulunur.
Adım 5 — $a^2$’li terimi bulalım
$a^2$’li terim için:
n-k=2 \Rightarrow k=n-2
Yani katsayı:
\binom{13}{11}(-1)^{11}
\binom{13}{11}=\binom{13}{2}=\frac{13\cdot 12}{2}=78
(-1)^{11}=-1
Dolayısıyla katsayı:
-78
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: A) -78
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Kısa Not:
Bu soruda kritik nokta, baştan 10. terim ve sondan 5. terim ifadelerini doğru terim numarasına çevirmektir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
(a - 1)ⁿ ifadesinin azalan kuvvetlerine göre açılımında terimlerin katsayı problemi
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Açılımda genel terim formu:
Bir binom açılımında
$$(a - 1)^n$$ ifadesinin azalan kuvvetlere göre genel terimi, yani a^{n-k} terimi şöyle yazılır:
T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k}(-1)^k
Burada k=0,1,2,...,n.
Adım 2 — 10. terim ve sondan 5. terimi belirleme:
- Başlangıçtan 10. terim: T_{10} = \binom{n}{9} a^{n-9}(-1)^9 = \binom{n}{9} a^{n-9} (-1)^9
- Sondan 5. terim, toplam terim sayısı (n+1) olduğundan; sondan 5. terim, baştan (n+1 - 5 + 1) = (n-3). terimdir.
Yani sondan 5. terim: T_{n-3} = \binom{n}{n-4} a^{4}(-1)^{n-4}
Adım 3 — Katsayılarının eşitliği:
Verilen: 10. terim ve sondan 5. terimin katsayıları eşittir.
a ifadeleri yok sayılır, sadece kat sayılar eşit olmalı.
Buna göre:
\binom{n}{9}(-1)^9 = \binom{n}{n-4}(-1)^{n-4}
Fakat \binom{n}{n-4} = \binom{n}{4} olduğundan:
\binom{n}{9}(-1)^9 = \binom{n}{4}(-1)^{n-4}
Adım 4 — İşlemler:
(-1)^9 = -1, denklemi düzenleyelim:
-\binom{n}{9} = \binom{n}{4} (-1)^{n-4}
Yani:
\frac{\binom{n}{9}}{\binom{n}{4}} = -(-1)^{n-4} = (-1)^{n-3}
Sağ taraf ya +1 ya -1 olur. (-1)^{n-3} ifadesinin durumu için n tek veya çift olabilir.
Adım 5 — \binom{n}{9} / \binom{n}{4} oranını bulalım:
\frac{\binom{n}{9}}{\binom{n}{4}} = \frac{\frac{n!}{9!(n-9)!}}{\frac{n!}{4!(n-4)!}} = \frac{4!(n-4)!}{9!(n-9)!} = \frac{4!}{9!} \times \frac{(n-4)!}{(n-9)!}
Burada:
\frac{(n-4)!}{(n-9)!} = (n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)
Çünkü (n-4)! = (n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)(n-9)!
Ayrıca 4! = 24, 9! = 362880.
Böylece:
\frac{\binom{n}{9}}{\binom{n}{4}} = \frac{24}{362880} \times (n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8) = \frac{1}{15120} \times (n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)
Adım 6 — Sonuç:
\frac{\binom{n}{9}}{\binom{n}{4}} = (-1)^{n-3}
sağ taraf ya +1 ya -1 olduğundan, mutlak değer eşitliği:
\left| \frac{\binom{n}{9}}{\binom{n}{4}} \right| = 1
Yani:
\frac{1}{15120} \times (n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8) = 1
Böylece:
(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8) = 15120
Adım 7 — Çarpanlar deneme:
Deneme yöntemiyle n’i bulalım.
Örnek: n=15 ise:
(15-4)(15-5)(15-6)(15-7)(15-8) = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7
Hesaplayalım:
11 \times 10 = 110
110 \times 9 = 990
990 \times 8 = 7920
7920 \times 7 = 55440 → Fazla
Biraz küçük alalım.
n=14:
10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 =
10 \times 9=90
90 \times 8=720
720 \times 7=5040
5040 \times 6=30240 → Hala fazla
n=13:
9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 =
9 \times 8 =72
72 \times 7=504
504 \times 6=3024
3024 \times 5=15120 → Tamam
Yani n=13 bulunur.
Adım 8 — a^2 teriminin katsayısını bulma:
a^{2} terimi, azalan kuvvetlerde a^{n-k} = a^2 için:
n - k = 2 \Rightarrow k = n - 2 = 13 - 2 = 11
Bu terim k=11 terimidir (k sıfırdan başlayarak sayılıyordu).
Genel terim formülünde:
T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k}(-1)^k
Burada k=11:
T_{12} = \binom{13}{11} a^{2} (-1)^{11} = \binom{13}{11} a^{2} (-1)^{11}
Katsayısı:
\binom{13}{11} (-1)^{11}
\binom{13}{11} = \binom{13}{2} = \frac{13 \times 12}{2} = 78
(-1)^{11} = -1
Sonuç:
\text{Katsayı} = 78 \times (-1) = -78
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: A) -78
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
- Binom açılımı: (a - 1)^n açılımında genel terim \binom{n}{k}a^{n-k}(-1)^k şeklindedir.
- Terim sıralaması: Başlangıçtan k+1. terim a^{n-k} kuvvetine sahiptir.
- Katsayı eşitliği: İki terimin katsayılarının eşit olması, kombinasyonların ve işaretlerin karşılaştırılması ile bulunur.
Yapılan yaygın hata:
- Terim sıralamasını yanlış almak (baştan ve sondan terimleri karıştırmak)
- İşaretleri hesaba katmamak
Başka konuda örnek istersen sormaktan çekinme!