Soru:
İfadenin kuvvet olarak yaz: \int \left(3x^{1/2} - 2x^{1/3} \right) dx \ Birinci terim: \ 3 \int x^{1/2} dx \ 3 dot \frac{x^{1/2 - 1}}{1/2 + 1}
Soru Fotoğrafı:
İfadenin kuvvet olarak yazılması: \int \left(3x^{1/2} - 2x^{1/3} \right) dx
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{(n ≠ -1)}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Birinci terim için integral hesaplama
İlk terim: 3 \int x^{1/2} dx
Üstte verilen formülü kullanalım:
\int x^{1/2} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}
Buna 3 sayısını da çarparak:
3 \times \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = 2 x^{\frac{3}{2}}
Adım 2 — İkinci terim için integral hesaplama
İkinci terim: -2 \int x^{1/3} dx
Yine formülü uygulayalım:
\int x^{1/3} dx = \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}
Buna -2 sayısını da çarparak:
-2 \times \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}}
Adım 3 — Sonucu yazma
İki sonucu birleştirip sabit C ekleyelim:
\int \left(3x^{1/2} - 2x^{1/3} \right) dx = 2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
\int \left(3x^{1/2} - 2x^{1/3} \right) dx = 2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
İfadenin kuvvet olarak yaz: \displaystyle \int \left(3x^{1/2} - 2x^{1/3}\right)\,dx
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Güç fonksiyonunun integrali: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} ( n\neq -1 )
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Terimleri ayır ve sabitleri dışarı çıkar
\displaystyle \int \left(3x^{1/2} - 2x^{1/3}\right)\,dx
= 3\int x^{1/2}\,dx - 2\int x^{1/3}\,dx
Adım 2 — Birinci terim
Birinci terim:
3\int x^{1/2}\,dx
= 3\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}
= 3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}
= 3\cdot\frac{2}{3}\,x^{3/2}
= 2\,x^{3/2}
Adım 3 — İkinci terim
İkinci terim:
-2\int x^{1/3}\,dx
= -2\cdot\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}
= -2\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}
= -2\cdot\frac{3}{4}\,x^{4/3}
= -\frac{3}{2}\,x^{4/3}
Adım 4 — Sonuçları birleştir
\displaystyle \int \left(3x^{1/2} - 2x^{1/3}\right)\,dx
= 2\,x^{3/2} - \frac{3}{2}\,x^{4/3} + C
CEVAP: \displaystyle 2x^{3/2} - \tfrac{3}{2}x^{4/3} + C
TEMEL KAVRAMLAR:
- Güç fonksiyonu integrali
- Tanım: \displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}
- Bu problemde: Üstlere 1 ekleyip yeni üstü payda olarak kullanıyoruz.
- Sabit çarpan kuralı
- Tanım: Sabit bir çarpan integral dışına alınabilir.
- Bu problemde: 3 ve -2 sabitleri integrallerin dışına alındı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Üstten 1 çıkarmak
- Yanlış: \int x^{1/2}\,dx = x^{1/2-1}/(1/2+1)
- Doğru: Üste 1 eklenir: x^{1/2+1}
- Neden yanlış: Güç kuralı karıştırıldı (eksiltme yerine toplama yapılmalı).
- Düzeltme: Üst → 1/2+1=3/2.
Sabiti yanlış çarpmak
- Yanlış: 3 ile bölmeyi unutmak veya yanlış sadeleştirmek.
- Doğru: 3\cdot\frac{1}{3/2}=3\cdot\frac{2}{3}=2.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?