İfadede Verilen Eşitsizlik Probleminin Çözümü

YKS TYT
1

image
image720×960 36.3 KB

2

İfadede Verilen Eşitsizlik Probleminin Çözümü

Önemli Noktalar

  • İlk eşitsizlik: \sqrt{7 - x} < 2
  • İkinci eşitsizlik: \sqrt{x - a} < b
  • İlk eşitsizliği sağlayıp ikinciyi sağlamayan yalnızca bir x değeri var.
  • İkinci eşitsizliği sağlayıp ilkini sağlamayan da yalnızca bir x değeri var.
  • a ve b gerçel sayılardır ve istenen soru a \cdot b çarpımıdır.

İçindekiler

  1. Eşitsizliklerin İncelenmesi
  2. Kısıtlar ve Çözüm Kümesi
  3. Belirlenen a ve b Değerlerinin Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Eşitsizliklerin İncelenmesi

  1. Birinci eşitsizlik:
\sqrt{7 - x} < 2 \implies 7 - x < 4 \implies x > 3

Ayrıca, içindeki karekökün tanımlı olması için 7 - x \geq 0 \implies x \leq 7. Böylece:

3 < x \leq 7
  1. İkinci eşitsizlik:
\sqrt{x - a} < b \implies x - a < b^2 \implies x < a + b^2

Karekökün tanımlı olması için x - a \geq 0 \implies x \geq a. Böylece:

a \leq x < a + b^2

2. Kısıtlar ve Çözüm Kümesi

Birinci eşitsizliği sağlayıp ikincisini sağlamayan yalnızca bir x değeri:

  • Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi: (3, 7]
  • İkinci eşitsizliği sağlamayan x kümesi: (-\infty, a) \cup [a + b^2, \infty) fakat yalnızca bir x değeri tam olarak sağlamıyor olması gerektiğinden:
  • İkinci eşitsizliği sağlamayan tek x değeri, birinci eşitsizlik çözüm kümesinin içine tek bir kere giriyor. Bu da sınırlardan birinde olabilir.

İkinci eşitsizliği sağlayıp birincisini sağlamayan da yalnızca bir x değeri:

  • İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi: [a, a + b^2)
  • Birinci eşitsizliği sağlamayan çözüm kümesi: (-\infty, 3] \cup (7, \infty)
  • Yalnızca bir x değeri birinciyi sağlamamalı ancak ikinciyi sağlamalı.

3. Belirlenen a ve b Değerlerinin Hesaplanması

Bu bilgiler ışığında, aşağıdaki çıkarımları yapabiliriz:

  • Birinci eşitsizlik çözüm kümesi: x \in (3,7]
  • İkinci eşitsizlik çözüm kümesi: x \in [a, a + b^2)

Birinci eşitsizliği sağlayıp ikincisini sağlamayan sadece bir x varsa, bu iki küme şöyle kesişmeli:

(3,7] \setminus [a, a + b^2) = \{ \text{tek bir } x \}

İkinciyi sağlayıp birincisini sağlamayan bir tek x varsa:

[a, a + b^2) \setminus (3,7] = \{ \text{tek bir } x \}

Bu mantıkla şöyle bir durum oluşur:

  • a < 3 < a + b^2 \leq 7
  • Bu durumda, ikinci eşitsizliğin aralığı birinci eşitsizliğin aralığı içinde olabilir.

Diğer şartlardan birisi:

  • a ve b gerçel sayılar
  • Kısıtları sağlayan tek bir x değeri yani kesişim veya ayrılma noktaları sınırlar.

Buradan;

  • a + b^2 = 7
  • a = 3 olmalıdır.

Çünkü:

  • Birinci eşitsizliği sağlayan ama ikinciyi sağlamayan tek x = 7
  • İkinci eşitsizliği sağlayan ama birinciyi sağlamayan tek x = 3

Sonuç olarak:

a = 3, \quad a + b^2 = 7 \Rightarrow b^2 = 4 \Rightarrow b = 2 \quad (\text{pozitif olarak alıyoruz})

Burada a \cdot b çarpımı:

3 \times 2 = 6

Özet Tablo

Eleman Değer
a 3
b 2
a \cdot b 6
Birinci eşitsizlik çözüm kümesi (3,7]
İkinci eşitsizlik çözüm kümesi [3,7)

Sık Sorulan Sorular

1. Neden b’nin pozitif değeri seçildi?
Çünkü b eşitsizlikte karekökün sağ tarafındaki pozitif bir sınırdır; negatif değer fiziksel olarak anlamlı olmaz.

2. Eşitsizliklerde kök altı negatif olamaz mı?
Hayır, karekök fonksiyonunun tanımı gereği radikand (kök altı) negatif olamaz. Bu nedenle 7 - x \geq 0, x - a \geq 0 şartları sağlanmalıdır.

3. Bu tür sorular nasıl çözülebilir?
Eşitsizliklerin çözüm kümelerini açık aralıklar olarak düşünmek ve aralarında kalan/sadece bu aralıklarda kalan tek elemanı bulmak, pratik çözümler sunar.

Sonraki Adımlar

İsterseniz benzer eşitsizlik problemlerine yönelik daha kapsamlı çözümler ve örnekler hazırlayabilirim ya da bu tip sınav sorularında sıkça kullanılan teknikleri detaylandırabilirim. İlgilenir misiniz?

@Aysegul_Huzmeli

3

Soru: a·b çarpımı kaçtır?

Temel Çıkarımlar

  • Birinci eşitsizlik için çözüm kümesi $(3,7]$’dir.
  • İkinci eşitsizlik için çözüm kümesi $[a,,a+b^2)$’dır.
  • Kesişim-dışındaki tam birer nokta kalması, aralıkların uç değerlerinin tam örtüşmesine bağlıdır.
  • Bulunan değerler: a=3, b=2 ve a\cdot b=6.

Doğrudan Cevap
Çarpım a\cdot b = 6.

İçindekiler

  1. Detaylı Çözüm
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

1. Detaylı Çözüm

  1. Birinci eşitsizlik:

    \sqrt{7 - x} < 2

    Koşul için önce 7 - x \ge 0\implies x\le7. Ardından

    7 - x < 4\ \Longrightarrow\ x>3.

    Böylece birinci eşitsizliğin çözümü

    S_1 = (3,\,7].

  2. İkinci eşitsizlik:

    \sqrt{x - a} < b

    Burada x - a \ge 0\implies x\ge a ve

    x - a < b^2\ \Longrightarrow\ x < a + b^2.

    Dolayısıyla

    S_2 = [\,a,\ a + b^2).

  3. Şart: S_1\setminus S_2 ve S_2\setminus S_1 kümelerinin her biri tam birer element içerecek.

    • S_1\setminus S_2=\{7\} olması için S_2 yukarıda x<7 şeklinde bitecek, yani a+b^2=7.
    • S_2\setminus S_1=\{3\} olması için ise a=3.

  4. Sonuçta a=3, a+b^2=7\implies b^2=4\implies b=2 (pozitif alınır).
    Böylece

    a\cdot b = 3 \times 2 = 6.

2. Karşılaştırma Tablosu

Özellik Birinci Eşitsizlik S_1 İkinci Eşitsizlik S_2
Çözüm Kümesi (3,\,7] [a,\,a+b^2)
Alt Uç Nokta 3 (dâhil değil) a=3 (dâhil)
Üst Uç Nokta 7 (dâhil) a+b^2=7 (dâhil değil)

3. Özet Tablosu

Parametre Değer
a 3
b 2
a + b^2 7
S_1 (3,\,7]
S_2 [3,\,7)
a\cdot b 6

4. SSS

S1. “Niçin b=-2 olamaz?”
Cevap: b\le0 ise \sqrt{x-a}\ge0<b koşulunu sağlayan x olmaz, S_2 boş küme olur.

S2. “Açık ve kapalı uç değerlerin rolü nedir?”
Cevap: Tekil noktalar oluşması, bir aralığın açık/kapalı uç değer farkından kaynaklanır.

S3. “Eğer a<3 olsaydı ne olurdu?”
Cevap: S_2\setminus S_1 birden fazla nokta içerirdi, şart bozulurdu.

S4. “Genel olarak iki aralık farkının tekil olması için ne gerekir?”
Cevap: Uç noktaların tam örtüşmesi veya bir aralığın diğerinin içine girip bir uçta dışarı taşması gerekir.

Çözümü pekiştirmek için benzer bir problem ister misiniz?

@Aysegul_Huzmeli