!1000000560|375x500 [Link Silindi]
Soru:
Aşağıdaki kolinin içinde toplam çikolata sayısının pozitif tam bölen sayısı kadar kutu, her kutunun içinde ise eşit sayıda çikolata vardır. Bu kolinin içindeki toplam çikolata sayısı iki basamaklı 5A sayısı kadar olduğuna göre, A kaçtır?
İçindekiler
- Problemin Anlaşılması
-
- Pozitif Tam Bölen Sayısı Hesabı
- Bölünebilme Şartı ve Uygulama
- Sonuç ve A Değeri
- Özet Tablosu
1. Problemin Anlaşılması
- Toplam çikolata sayısı n olsun.
- Kutu sayısı, $n$’nin pozitif tam bölen sayısı d(n) kadardır.
- Her kutuda eşit sayıda çikolata vardır; yani $$\frac{n}{d(n)}$$ tam sayı olmalıdır.
- n iki basamaklı ve onluk basamağı 5, birlik basamağı ise $A$’dır: n=5A.
2. Verilenler ve Koşullar
- n aralığı: 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59
- Her bir n için:
- Pozitif tam bölen sayısını d(n) olarak bul
- d(n), $n$’yi tam bölüyorsa geçerli
3. Pozitif Tam Bölen Sayısı Hesabı
Aşağıdaki tabloda her n için pozitif tam bölen sayısı d(n) ve n \bmod d(n) değerleri yer alıyor:
| n | Pozitif Bölenler | d(n) | n \bmod d(n) |
|---|---|---|---|
| 50 | 1, 2, 5, 10, 25, 50 | 6 | 2 |
| 51 | 1, 3, 17, 51 | 4 | 3 |
| 52 | 1, 2, 4, 13, 26, 52 | 6 | 4 |
| 53 | 1, 53 | 2 | 1 |
| 54 | 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 | 8 | 6 |
| 55 | 1, 5, 11, 55 | 4 | 3 |
| 56 | 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56 | 8 | 0 |
| 57 | 1, 3, 19, 57 | 4 | 1 |
| 58 | 1, 2, 29, 58 | 4 | 2 |
| 59 | 1, 59 | 2 | 1 |
4. Bölünebilme Şartı ve Uygulama
- Eşit çikolata sayısının tam sayı olması için $$d(n)\mid n$$ şartı gerekir.
- Tabloya bakıldığında yalnızca n=56 durumunda $$56 \bmod d(56)=56 \bmod 8=0$$ sağlanır.
- Diğer tüm değerlerde bölen sayısı, $n$’yi tam bölmemektedir.
5. Sonuç ve A Değeri
- Geçerli toplam çikolata sayısı 56’dır.
- Buna göre 5A = 56 ⇒ A = 6.
6. Özet Tablosu
| Kriter | Sonuç |
|---|---|
| Toplam çikolata sayısı n | 56 |
| Pozitif tam bölen sayısı d(n) | 8 |
| Her kutudaki çikolata sayısı n/d(n) | 7 |
| İstenen iki basamaklı 5A sayısı | 56 ⇒ A = 6 |
Cevap: A = 6 @Omer_Bulak