- Bir mühendis, üçgen biçimindeki bir çerçevenin
içine, uzunlukları ardışık tam sayıilar olan üç destek
çub yerleştirmek istemektedir. Çubuklar Şekil T’de
MOMOlerine göre siralanmiştif.
Sekil 1
Mūhendis, çubukları ABG üÇgeninin içine Şeki 2deki gibi
yerleştirirken
AKl BLIICMt olacak şekilde konumlandırimişt.
Ayrica şekilde gsterilen kımztaçılarn õlçileri eşiti
Sekıl 2
Bu düzenleme sonucurnda KŁMüçgeni
oluşuyo
JABI36 ve 1ACI 48 biim
B)21
olduğuna göre KLM üçgeninin çevres kaç birimdlr?
A) 24
C) 18
D) 15
E) 12
8, Bir okul
ve günlo
Aşağıda
Sorusu v
arasi
Futb
antrer
M. YKS
saat u
Buna göre
karşılaştır
A) Yz
Bir dijital doğrult
bilgisi iki aşamal
Üçgen İçine Yerleştirilen Destek Çubukları ve KLM Üçgeninin Çevresi
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Üçgende Dış Açı Kuralı: Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
- Açı-Açı-Açı (A.A.A.) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı tüm iç açıları eşit ise bu iki üçgen benzerdir ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır:\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = k
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — KLM Üçgeninin Açılarını Belirleme
ABC üçgeninin iç açıları m(\widehat{A}), m(\widehat{B}), m(\widehat{C}) olsun. Şekilde verilen eşit kırmızı açıların ölçüsüne \alpha diyelim:
m(\widehat{BAK}) = m(\widehat{CBL}) = m(\widehat{ACM}) = \alpha
Üçgenlerdeki dış açı kuralını uygulayalım:
- ABL üçgeninde L köşesindeki dış açı:m(\widehat{KLM}) = m(\widehat{ABL}) + m(\widehat{BAK}) = (m(\widehat{B}) - \alpha) + \alpha = m(\widehat{B})
- BCM üçgeninde M köşesindeki dış açı:m(\widehat{LMK}) = m(\widehat{BCM}) + m(\widehat{CBL}) = (m(\widehat{C}) - \alpha) + \alpha = m(\widehat{C})
- CAK üçgeninde K köşesindeki dış açı:m(\widehat{MKL}) = m(\widehat{CAK}) + m(\widehat{ACM}) = (m(\widehat{A}) - \alpha) + \alpha = m(\widehat{A})
Buradan KLM üçgeninin iç açılarının ABC üçgeninin iç açılarıyla birebir aynı olduğu görülür. Dolayısıyla:
\triangle KLM \sim \triangle ABC
Adım 2 — Çubuk ve Kenar Uzunlukları Arasındaki İlişkiyi Kurma
|AK| = |BL| = |CM| = d olarak verilmiştir. Çubukların toplam uzunlukları:
- Kırmızı çubuk: |AL| = |AK| + |KL| = d + |KL|
- Yeşil çubuk: |BM| = |BL| + |LM| = d + |LM|
- Mavi çubuk: |CK| = |CM| + |MK| = d + |MK|
Çubuk uzunlukları ardışık tam sayılar olduğundan ve her birinden eşit d uzunluğu çıkarıldığından, KLM üçgeninin kenar uzunlukları (|KL|, |LM|, |MK|) da ardışık tam sayılardır.
Adım 3 — Benzerlik Oranını ve Kenar Uzunluklarını Hesaplama
\triangle KLM \sim \triangle ABC benzerliğinden karşılıklı kenar oranlarını yazalım:
\frac{|KL|}{|AB|} = \frac{|MK|}{|AC|} \implies \frac{|KL|}{36} = \frac{|MK|}{48}
Oranı sadeleştirdiğimizde:
\frac{|KL|}{|MK|} = \frac{36}{48} = \frac{3}{4}
KLM üçgeninin kenarları ardışık tam sayılar (n-1, n, n+1) olup aralarındaki oran \frac{3}{4} olan kenarlar:
- |KL| = 6\text{ birim}
- |MK| = 8\text{ birim}
Bu durumda ardışıklığı sağlayan ortanca kenar:
- |LM| = 7\text{ birim} olur.
Adım 4 — KLM Üçgeninin Çevresini Hesaplama
Çevre(KLM) = |KL| + |LM| + |MK| = 6 + 7 + 8 = 21\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 21
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Üçgen Benzerliği (A.A.A.)
- Tanım: Karşılıklı açıları eşit olan üçgenlerin kenarları birbiriyle orantılıdır.
- Bu problemde: KLM üçgeninin açıları ABC üçgeninin açılarıyla eşit çıktığı için 36 ve 48 birimlik kenarlar yardımıyla benzerlik oranı kurulmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Çubuk boyları ile üçgen kenarlarını karıştırmak
- Yanlış: Çubukların toplam boyunu doğrudan üçgenin kenarı olarak almak.
- Doğru: |AK| = |BL| = |CM| eşitliğini kullanarak üçgenin kenarlarının da ardışık tam sayılar olduğunu fark etmek.
- Neden yanlış: KLM üçgeni çubukların sadece kesişim bölgesinde kalan kısımlarından oluşmaktadır.
Bu soru tarzındaki benzerlik ve açı taşıma mantığını pekiştirmek için benzer bir geometri problemi çözmemi ister misin?