İçeriği Anlamadan Verilen Soru

YKS Basic Proficiency Test
1

**Soru: Limit Soru
Limit_{x \to 2} \frac{x^3 + 8}{x - 2}

İntegralini bulunuz:

\int \frac{x^3 + 8}{x - 2} dx

Soru Fotoğrafı:

Soru:
İçeriği Anlamadan Verilen Soru

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli960×723 37.6 KB

2

Limit ve İntegralini Bulma: \lim_{x \to 2} \frac{x^3 + 8}{x - 2} ve \int \frac{x^3 + 8}{x - 2} dx

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Limit: Eğer fonksiyon \frac{0}{0} biçimindeyse, pay ve paydayı sadeleştirmek veya polinom bölme yaparak limit bulunur.
  • İntegral: Polinom bölmesi yaptıktan sonra basit integrallere ayırıp hesaplanır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Limit Hesabı

\lim_{x \to 2} \frac{x^3 + 8}{x - 2}

İlk önce x=2 değerini yerine koyarsak:

\frac{2^3 + 8}{2 - 2} = \frac{8 + 8}{0} = \frac{16}{0}

Bu tanımsızdır ama aslında payda x-2’ye bölünebilir mi diye kontrol etmeliyiz.

Adım 2 — Payı Çarpanlarına Ayırma

x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)

Bu nedenle

\frac{x^3 + 8}{x - 2} = \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{x - 2}

Burada payda x-2 var, payda ile pay arasında ortak çarpan yoktur, o yüzden limit sonsuz olabilir. Limit için x\to 2 iken durumu inceleyelim.

Adım 3 — Limit İncelemesi

x \to 2 yaklaşırken pay (2+2)(4 -4 +4) = 4 \times 4 = 16 yani pozitif;

Payda ise x - 2 \to 0.

  • x\to 2^+ için (x-2)>0, limit +\infty
  • x\to 2^- için (x-2)<0, limit -\infty

Bu nedenle limit yoktur (sınırsızdır ve yönlere göre farklı değer alır).

Adım 4 — İntegrali Hesaplama

\int \frac{x^3 +8}{x - 2} dx

Polinom bölmesi yapalım:

x^3 + 8 ifadesini x-2’ye bölelim.

  • Bölme işlemi:
\frac{x^3 + 8}{x-2} = x^2 + 2x + 4 + \frac{16}{x - 2}

Çünkü:

(x-2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 - 2x^2 + 2x^2 -4x + 4x - 8 = x^3 -8

Ama burada yanlış sonuç var, çünkü x^3 + 8’i bölüyoruz, o yüzden kalan farklı olmalı.

Doğru bölme:

  • x^3 ÷ x = x^2, çarp: x^3 - 2x^2
  • çıkar: (x^3 + 0) - (x^3 - 2x^2) = 2x^2
  • 2x^2 ÷ x = 2x, çarp: 2x^2 -4x
  • çıkar: 2x^2 - (2x^2 - 4x) = 4x
  • 4x ÷ x = 4, çarp: 4x -8
  • çıkar: 4x + 8 - (4x -8) = 16

Kalan 16 oldu.

Yani

\frac{x^3 + 8}{x - 2} = x^2 + 2x + 4 + \frac{16}{x - 2}

Adım 5 — İntegrali Parçalara Ayırma

\int \left( x^2 + 2x + 4 + \frac{16}{x - 2} \right) dx = \int x^2 dx + \int 2x dx + \int 4 dx + \int \frac{16}{x - 2} dx

Hesaplayalım:

\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}
\int 2x dx = x^2
\int 4 dx = 4x
\int \frac{16}{x - 2} dx = 16 \ln |x - 2|

Adım 6 — Sonucu Birleştirme

\int \frac{x^3 + 8}{x - 2} dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + 4x + 16 \ln |x - 2| + C

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:

  • Limit x \to 2 için sağdan +\infty, soldan -\infty, yani limit yoktur.
  • İntegral:
\int \frac{x^3 + 8}{x - 2} dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + 4x + 16 \ln |x - 2| + C

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^3+8}{x-2} ve \displaystyle \int \frac{x^3+8}{x-2}\,dx

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Limit için: payın x=2’deki değeri ve paydanın işareti kontrol edilir; bir taraflı limitler incelenir.
  • İntegral için: polinom bölmesi ve temel integraller:
    • \displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
    • \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Limitin incelenmesi

Başlangıç ifadesi:

\frac{x^3+8}{x-2}
x=2 \text{ için } x^3+8=2^3+8=8+8=16
16\neq 0

Payın x→2 civarında pozitif olduğu sonucu çıkar.

Sağa doğru limit (x→2^+):

x-2>0 \text{ olduğu için } \frac{pozitif}{pozitif}\to +\infty

Sola doğru limit (x→2^-):

x-2<0 \text{ olduğu için } \frac{pozitif}{negatif}\to -\infty

Sonuç: Bir taraflı limitler farklı (birisi +∞, diğeri −∞) olduğu için sonlu bir limit yoktur; ifade ±∞ ile ayrışır.

Adım 2 — İntegralin hesaplanması

Hazırlık (setup):

\int \frac{x^3+8}{x-2}\,dx

Polinom bölmesi yapılacak:

Başlangıç bölme ifadesi:

\frac{x^3+0x^2+0x+8}{x-2}

Birinci bölüm terimi:

x^2\cdot(x-2)=x^3-2x^2

Çıkarma:

(x^3+0x^2)-(x^3-2x^2)=2x^2

Bir sonraki ara ifade (0x getir):

2x^2+0x

İkinci bölüm terimi:

2x\cdot(x-2)=2x^2-4x

Çıkarma:

(2x^2+0x)-(2x^2-4x)=4x

Ara ifadeye 8 ekle:

4x+8

Üçüncü bölüm terimi:

4\cdot(x-2)=4x-8

Çıkarma:

(4x+8)-(4x-8)=16

Kalan 16 olduğundan bölme sonucu:

\frac{x^3+8}{x-2}=x^2+2x+4+\frac{16}{x-2}

İntegrali terim terim al:

Birinci terim:

\int x^2\,dx
= \frac{x^3}{3}

İkinci terim:

\int 2x\,dx
= 2\cdot\frac{x^2}{2}
= x^2

Üçüncü terim:

\int 4\,dx
= 4x

Dördüncü terim:

\int \frac{16}{x-2}\,dx
= 16\ln|x-2|

Tüm terimleri toplama:

\frac{x^3}{3}+x^2+4x+16\ln|x-2|+C

:white_check_mark: CEVAP:

  • Limit için: Sağ limit +\infty, sol limit -\infty; sonlu bir limit yoktur (sınırsız ayrışma).
  • İntegral için: \displaystyle \int \frac{x^3+8}{x-2}\,dx=\frac{x^3}{3}+x^2+4x+16\ln|x-2|+C

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Polinom bölmesi
  • Tanım: Bir polinomu başka bir polinoma bölerken bölüm ve kalan bulunur.
  • Bu problemde: \frac{x^3+8}{x-2}=x^2+2x+4+\frac{16}{x-2}.
  1. Logaritmik integral
  • Tanım: \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C.
  • Bu problemde: kalan terim \frac{16}{x-2} için kullanıldı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Bölme atlanması

  • Yanlış: Doğrudan payı paydadan bölmeye çalışıp hatalı sonuç almak.
  • Doğru: Polinom bölmesi yapılarak kalan-terim ayrıştırılmalı.
  • Neden yanlış: Doğrudan sadeleştirme yapılamaz; payda sıfıra gidiyor.
  • Düzeltme: Bölme yap, kalan terimi \frac{16}{x-2} şeklinde yaz.

:cross_mark: Mutlak değeri unutmak

  • Yanlış: \ln(x-2) yazmak.
  • Doğru: \ln|x-2| olmalı.
  • Neden yanlış: Logaritmanın tanımında mutlak değer gereklidir.
  • Düzeltme: Mutlak değeri ekle.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: