İç açılarının ölçüleri a^\circ , b^\circ ve c^\circ olan bir ABC üçgeninde çevrel çemberin alanı 36\pi birimkaredir.
\cot(90^\circ + a^\circ) \cdot \cos(b^\circ + c^\circ) = \frac{3}{4}
olduğuna göre ABC üçgeninin çevre uzunluğunun birim cinsinden tam sayı değeri en az kaçtır?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 19
E) 20
Sinüs Teoremi ve Üçgen Eşitsizliği ile Çevre Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir üçgenin iç açıları toplamı a^\circ + b^\circ + c^\circ = 180^\circ olup çevrel çember yarıçapı R olan bir üçgende Sinüs Teoremi \frac{\text{kenar}}{\sin(\text{karşı açı})} = 2R şeklinde ifade edilir. Ayrıca üçgen eşitsizliği gereğince herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan daima büyüktür.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Çevrel Çemberin Yarıçapının (R) Bulunması
Çevrel çemberin alanı 36\pi\text{ birimkare} olarak verilmiştir:
\pi R^2 = 36\pi \implies R = 6\text{ birim}
Adım 2 — Trigonometrik İfadenin İndirgenmesi
Üçgenin iç açıları toplamından b^\circ + c^\circ = 180^\circ - a^\circ yazılır. İndirgeme formülleri uygulandığında:
\cot(90^\circ + a^\circ) = -\tan a^\circ
\cos(b^\circ + c^\circ) = \cos(180^\circ - a^\circ) = -\cos a^\circ
Bu iki ifadenin çarpımı:
(-\tan a^\circ) \cdot (-\cos a^\circ) = \tan a^\circ \cdot \cos a^\circ = \frac{\sin a^\circ}{\cos a^\circ} \cdot \cos a^\circ = \sin a^\circ
Verilen eşitliğe göre:
\sin a^\circ = \frac{3}{4}
Adım 3 — a^\circ Açısının Karşısındaki Kenarın Hesaplanması
a^\circ açısının gördüğü kenara x dersek, Sinüs Teoremi’nden:
\frac{x}{\sin a^\circ} = 2R \implies x = 2 \cdot 6 \cdot \frac{3}{4} = 9\text{ birim}
Adım 4 — Üçgen Eşitsizliği ve Çevre Değerlendirmesi
Üçgenin diğer iki kenar uzunluğuna y ve z diyelim. Üçgen eşitsizliğine göre:
y + z > x \implies y + z > 9
Üçgenin çevre uzunluğu:
\text{Çevre} = x + (y + z) = 9 + (y + z)
y + z > 9 \implies \text{Çevre} > 9 + 9 = 18
Çevre uzunluğu $18\text{ birim}$den kesinlikle büyük olmak zorundadır. Dolayısıyla çevrenin alabileceği en küçük tam sayı değeri 19 olur.
CEVAP: D) 19 (\text{Çevre} > 18)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kenarlardan biri 9 birim olduğunda diğer iki kenarın toplamı 9’dan büyük olmak zorundadır. Bu nedenle çevre uzunluğu 18 olamaz (kenarlar çakışır ve üçgen oluşmaz); sorularda sınır değerin bir fazlası olan 19 en küçük tam sayı değeridir.