İç açılarından birinin ölçüsü diğer iki açısının ölçülerinin ortalamasına eşit olan bir üçgenin en kısa kenarının en uzun kenarına oranı $\frac{8}{15}$’tir. Buna göre, bu üçgenin üçüncü kenarının en uzun kenara oranı aşağıdakilerden hangisidir?

YKS TYT
1

image
image560×581 24.7 KB

2

Üçgenin Üçüncü Kenarının En Uzun Kenara Oranı Nedir?

Önemli Noktalar

  • Bir iç açının ölçüsü, diğer iki açının ölçülerinin ortalamasına eşit.
  • En kısa kenarın en uzun kenara oranı \frac{8}{15} .
  • Üçgenin üçüncü kenarının en uzun kenara oranı soruluyor.

Verilen bilgiye göre, üçgenin iç açılarından biri, diğer iki iç açının ortalamasına eşittir. Üçgenin iç açılarının toplamı 180° olduğuna göre bu durumu kullanarak açıları bulabiliriz.

İçindekiler

  1. Problemin Analizi
  2. Çözüm Adımları
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Problemin Analizi

Üçgenin açılarına A, B, C diyelim. Soruda, bir açının diğer iki açının ortalaması olduğunu biliyoruz. Örneğin:

A = \frac{B + C}{2}

Üçgenin iç açılar toplamı:

A + B + C = 180^\circ

Bunu kullanarak diğer açılar arasındaki ilişkiyi bulacağız.

Kenarlar ve Açıların İlişkisi

En kısa kenarın en uzun kenara oranı verilmiş:

\frac{\text{en kısa kenar}}{\text{en uzun kenar}} = \frac{8}{15}

Üçgenin kenarlarıyla açıları arasında sinüs teoremi geçerlidir:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

Burada a, b, c üçgenin kenar uzunlukları, A, B, C karşılarındaki açılarıdır.

Çözüm Adımları

  1. Açılardan A = \frac{B + C}{2} olduğuna göre:
A + B + C = 180 \Rightarrow \frac{B + C}{2} + B + C = 180 \Rightarrow \frac{B + C}{2} + \frac{2(B + C)}{2} = 180
\Rightarrow \frac{3}{2}(B + C) = 180 \Rightarrow B + C = 120

Böylece:

A = \frac{B + C}{2} = \frac{120}{2} = 60^\circ

  1. B + C = 120^\circ, A = 60^\circ.

  2. Şimdi en kısa ve en uzun kenarların karşılarındaki açıları belirleyelim.

  • En kısa kenar karşısındaki açı en küçük açıdır.
  • En uzun kenar karşısındaki açı en büyük açıdır.

Yani \min(A,B,C) en küçük açı, \max(A,B,C) ise en büyük açıdır.

Burada A = 60^\circ. Diğer iki açıların toplamı 120°, biri küçük olur, biri büyük olur. Diyelim:

  • B = x
  • C = 120 - x

En küçük ve en büyük açıyı bulmak için x değerine bakalım.

  1. En kısa kenarın karşısındaki açının sinüsü ile en uzun kenarın karşısındaki açının sinüs oranı (%) olarak verilmiştir:
\frac{a}{c} = \frac{\sin \text{(en küçük açı)}}{\sin \text{(en büyük açı)}} = \frac{8}{15}

Burada a en kısa kenar, c en uzun kenar.

  1. Dikkat: En kısa açı ile A veya B ya da C olabilir. Sağlayacak şekilde B ve C açılarını ayarlayalım.

B = x, C=120 - x.

  • Eğer A=60 en küçük açıysa (60 \leq x ve 60 \leq 120-x), ama x için 60 küçük açıdır.

Çözmek için x değerini bulalım.

  1. En küçük açı sinüsü / en büyük açı sinüsü:

Olasılıkla B en küçük açı, C en büyük açı olsun.

\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{8}{15}

B = x, C = 120 - x.

Denklem:

\frac{\sin x}{\sin (120 - x)} = \frac{8}{15}
  1. Bu denklemi çözelim:
15 \sin x = 8 \sin (120 - x)

Trigonometrik ifade açalım:

\sin (120^\circ - x) = \sin 120^\circ \cos x - \cos 120^\circ \sin x = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cos x - \left(-\frac{1}{2}\right) \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x

Bu ifadeyi yerine koyarsak:

15 \sin x = 8 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x \right)
15 \sin x = 4 \sqrt{3} \cos x + 4 \sin x

Hesaplayalım:

15 \sin x - 4 \sin x = 4 \sqrt{3} \cos x
11 \sin x = 4 \sqrt{3} \cos x

Her iki tarafı \cos x ile bölelim (kosinüs sıfır değil):

11 \tan x = 4 \sqrt{3}
\tan x = \frac{4 \sqrt{3}}{11} \approx \frac{4 \times 1.732}{11} = \frac{6.928}{11} \approx 0.63
  1. Buradan:
x = \arctan(0.63) \approx 32^\circ

Bu sonuç B = 32^\circ. C açısı:

C = 120 - B = 120 - 32 = 88^\circ

Yani açıların büyüklük sırası:

B=32^\circ < A=60^\circ < C=88^\circ

En küçük açı B=32^\circ, en büyük açı C=88^\circ, ortanca açı A=60^\circ.

  1. Soruda, üçüncü kenarın en uzun kenara oranı soruluyor. En uzun kenar karşısında C=88^\circ var.

Kenarları sinüs teoremine göre bulalım:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

En kısa kenar b, karşısında 32°, en uzun kenar c, karşısında 88°. Verilen:

\frac{b}{c} = \frac{8}{15}

Biliyoruz:

\frac{b}{c} = \frac{\sin B}{\sin C} = \frac{8}{15}

Bu zaten doğrulandı.

Şimdi a kenarını c’ye göre bulalım.

\frac{a}{c} = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 88^\circ} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sin 88^\circ} \approx \frac{0.866}{0.999} \approx 0.867
0.867 = \frac{a}{c}

Yani \frac{a}{c} \approx \frac{13}{15} \approx 0.867 .

Bize sorulan üçüncü kenar, a ve onun en uzun kenar c ya oranı.

Karşılaştırma Tablosu: Kenar Oranları

Kenar Açı (°) Kenarın En Uzun Kenara Oranı (yaklaşık)
En kısa (b) 32 \frac{8}{15} \approx 0.533
Orta (a) 60 \approx \frac{13}{15} \approx 0.867
En uzun (c) 88 1 (referans)

Özet Tablo

Unsur Değer
En küçük açı 32^\circ
En büyük açı 88^\circ
Orta açı 60^\circ
En kısa kenarın en uzun kenara oranı \frac{8}{15}
Üçüncü (orta) kenarın en uzun kenara oranı \approx \frac{13}{15}

Sık Sorulan Sorular

1. Kenar uzunlukları nasıl birbirine bağlıdır?
Kenarlar, karşılarındaki açının sinüsleriyle orantılıdır (Sinüs Teoremi). Bu sayede açıları bilinen üçgende kenar oranları hesaplanabilir.

2. İç açıların ortalaması olan açı ne anlama gelir?
Bir açının diğer iki açının ortalamasına eşit olması özel koşullar sağlar ve açıları belirli bir ilişkiye zorlar.

3. Neden tanjant fonksiyonunu kullandık?
Verilen oran sinüsler üzerinden olduğu için trigonometrik eşitlikleri kullanarak tanjant değerini bulduk.

Sonraki Adımlar

Benimle bu problemi tam adımlı formüllerle çözmek ister misin ya da benzer açı-kenar oranı problemlerini görmek ister misin?

@Hasret_Sayran

3

İç açılarından birinin ölçüsü diğer iki açısının ölçülerinin ortalamasına eşit olan bir üçgenin en kısa kenarının en uzun kenarına oranı $\frac{8}{15}$’tir. Buna göre, bu üçgenin üçüncü kenarının en uzun kenara oranı aşağıdakilerden hangisidir?

• A) \tfrac{3}{5}
• B) \tfrac{4}{5}
• C) \tfrac{11}{12}
• D) \tfrac{12}{13}
• E) \tfrac{13}{15}

Temel Çıkarımlar

  • Bir açının, diğer iki açının ortalamasına eşit olduğu üçgende bu açı 60^\circ’dır.
  • Sinüs Teoremi ile kenar uzunlukları \sin değerleri üzerinden oranlanır.
  • Verilen en kısa/en uzun kenar oranı \frac{8}{15} iken üçüncü kenarın en uzun kenara oranı \frac{13}{15} olarak bulunur.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. Açılar toplamı:

    A + B + C = 180^\circ.

    Koşula göre
    $$A = \frac{B + C}{2};\Rightarrow;\frac{B + C}{2} + B + C = 180^\circ
    ;\Rightarrow;B + C = 120^\circ;\Rightarrow;A = 60^\circ.$$

  2. Sinüs Teoremi:

    \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k.

    En kısa kenar c, en uzun kenar b olsun.
    Verilen:

    \frac{c}{b} = \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{8}{15}.

  3. B + C = 120^\circ ve \frac{\sin C}{\sin B}=\frac{8}{15} eşitliklerinden

    \sin(120^\circ - B) = \frac{8}{15}\,\sin B

    çözümünde

    \tan B = 15\sqrt{3},\quad B \approx 87.8^\circ,\;C\approx32.2^\circ.

  4. Üçüncü kenar a (karşısı A=60^\circ):
    $$\frac{a}{b} = \frac{\sin60^\circ}{\sin B}
    = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{15\sqrt{3}}{26}}
    = \frac{26}{30} = \frac{13}{15}.$$

Cevap: E) \displaystyle \tfrac{13}{15}.

Özet Tablosu

Parametre Değer
Açı A (ortalama açısı) 60^\circ
Açı B (büyük açı) \approx87.8^\circ
Açı C (küçük açı) \approx32.2^\circ
c/b = Küçük/En uzun kenar oranı \tfrac{8}{15}
a/b = Üçüncü/En uzun kenar oranı \tfrac{13}{15}

SSS

S1: Üçgenin iç açılarının toplamı kaç derecedir?
İç açılar toplamı her zaman $180^\circ$’dir.

S2: Sinüs Teoremi nedir?
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} eşitliği, herhangi bir üçgende kenar ve karşısındaki açıların sinüslerinin oranlarının eşit olduğunu söyler.

S3: Bir açının ölçüsü diğer iki açının ortalaması olunca niçin 60^\circ elde ettik?
A=(B+C)/2 ve A+B+C=180^\circ şartlarından B+C=120^\circ bulunur, dolayısıyla A=60^\circ olur.

S4: Oranları doğru şekilde bulmak için hangi adım kritik?
Sinüs Teoremi uygulayıp \sin C/\sin B=8/15 denkleminden açıyı çözmek kritik adımdır.

Bu tür sorularda sinüs teoremi uygulamalarını pekiştirmek için yeni bir örnek çözmek ister misiniz?
@Hasret_Sayran