İç açıların ölçüleri a°, b° ve c° olan bir ABC üçgeninde çevre çemberin alanı 36\pi birimkaredir. Buna göre ABC üçgeninin çevre uzunluğunun birim cinsinden tam sayı değeri en az kaçtır?
Soru Fotoğrafı:
İç açıları a, b, c olan ABC üçgeninin çevre uzunluğunun en az tam sayı değeri
KULLANILAN FORMÜL / KURALLAR:
- Çevrel Çember Alanı: Alan = \pi \cdot R^2 (R: Çevrel çember yarıçapı)
- Sinüs Teoremi: \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
- Trigonometrik Dönüşümler:
- \cot(90^\circ + \alpha) = -\tan \alpha
- Bir üçgende a+b+c=180^\circ olduğu için \cos(b+c) = \cos(180^\circ - a) = -\cos a
- Üçgen Çevresi: Çevre = a+b+c = 2R(\sin a + \sin b + \sin c)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Çevrel Çember Yarıçapını (R) Bulma
Çevrel çemberin alanı 36\pi olarak verilmiş.
\pi \cdot R^2 = 36\pi \implies R^2 = 36 \implies R = 6 \text{ birim.}
Bu durumda 2R = 12 olur.
Adım 2 — Trigonometrik Denklemi Çözme
Verilen denklem: \cot(90^\circ + a) \cdot \cos(b+c) = \frac{3}{4}
- \cot(90^\circ + a) = -\tan a
- \cos(b+c) = \cos(180^\circ - a) = -\cos a
Bu değerleri yerine yazalım:
(-\tan a) \cdot (-\cos a) = \frac{3}{4} \implies \tan a \cdot \cos a = \frac{3}{4}
\frac{\sin a}{\cos a} \cdot \cos a = \frac{3}{4} \implies \sin a = \frac{3}{4}
Adım 3 — Kenar Uzunluklarını Belirleme
Sinüs teoreminden a kenarını bulalım:
a = 2R \cdot \sin a = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9 \text{ birim.}
Adım 4 — Çevrenin En Küçük Değerini Hesaplama
Üçgenin çevresi: Ç = a + b + c = 9 + b + c
Üçgen eşitsizliğine göre bir kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır:
a < b + c \implies 9 < b + c
Çevrenin en küçük tam sayı değerini bulmak için b+c toplamının 9’dan büyük en küçük değeri alması gerekir.
b+c toplamı 9’dan büyük olmalıdır (b+c > 9).
Çevre = 9 + (b+c) > 9 + 9 \implies Çevre > 18
18’den büyük en küçük tam sayı değeri 19’dur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 19
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Sinüs Teoremi
- Tanım: Bir üçgenin kenar uzunluklarının, o kenarların karşısındaki açıların sinüslerine oranı sabittir ve çevrel çemberin çapına eşittir.
- Bu problemde: a = 2R \sin a ilişkisi kullanılarak sabit olan a kenarı bulunmuştur.
2. Üçgen Eşitsizliği
- Tanım: Bir üçgende herhangi bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından daima küçüktür.
- Bu problemde: a < b+c şartı kullanılarak çevrenin alt sınırı belirlenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sabit Kenarı Unutmak
- Yanlış: Sadece b+c üzerine odaklanıp a kenarını hesaba katmamak.
- Doğru: Önce trigonometrik veriden a kenarını netleştirmek gerekir.
- Neden: a kenarı sabitlendiği için çevre sadece b ve c değişkenlerine bağlı kalır.
Bu problemin benzeri olan “çevrenin alabileceği en büyük değer” sorusunu da çözmemi ister misin?