I nolu sütuna 4 ile bölümünden 3 kalanını veren I nolu satıra 5 ile tam bölünen ve II nolu satıra 2 ile bölümünden 1

Question Answer
1

Aşağıdaki şekilde I nolu sütuna 4 ile bölümünden 3 kalanını veren I nolu satıra 5 ile tam bölünen ve II nolu satıra 2 ile bölümünden 1 kalanını veren doğal sayılar yazılıyor. Sütunda sayılar yukarıdan aşağıya doğru artmaktadır.
a ve b iki basamaklı doğal sayılar olduğuna göre, a+b toplamı en az kaçtır?
A) 26
B) 30
C) 34
D) 38
E) 42

I nolu sütuna 4 ile bölümünden 3 kalanını veren I nolu satıra 5 ile tam bölünen ve II...
I nolu sütuna 4 ile bölümünden 3 kalanını veren I nolu satıra 5 ile tam bölünen ve II...1024×768 132 KB

2

Bölünebilme Kuralları ve Modüler Aritmetik Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir sayının bir bölen ile bölümünden kalan şartları x \equiv k \pmod m bağıntısıyla ifade edilir. Sayının sağladığı tüm ortak şartlar (ortak kat ve kalan ilişkisi) incelenerek en küçük iki basamaklı değerler belirlenir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — a Sayısının Şartlarının Belirlenmesi ve En Küçük Değeri:
Görseldeki tabloda a sayısı I nolu sütun ile I nolu satırın kesişimindedir. Bu nedenle:

  • I nolu sütunda olduğundan 4 ile bölümünden 3 kalanını vermelidir: a = 4k + 3
  • I nolu satırda olduğundan 5 ile tam bölünmelidir: a = 5m

a sayısı iki basamaklı bir doğal sayı (a \ge 10) olduğundan, 5’in iki basamaklı katları (10, 15, 20, …) incelenir:

  • 10 = 4 \cdot 2 + 2 (kalan 2, sağlamaz)
  • 15 = 4 \cdot 3 + 3 (kalan 3, şartı sağlar)

Buradan iki basamaklı en küçük a değeri:

a = 15

Adım 2 — b Sayısının Şartlarının Belirlenmesi ve En Küçük Değeri:
b sayısı I nolu sütun ile II nolu satırın kesişimindedir:

  • I nolu sütunda olduğundan: b = 4n + 3 (4 ile bölümünden kalan 3 olan sayılar tektir; dolayısıyla II nolu satırın 2 ile bölümünden 1 kalanı verme şartını daima sağlar).
  • Sütundaki sayılar yukarıdan aşağıya doğru arttığı için b > a, yani b > 15 olmalıdır.

b > 15 şartını sağlayan ve 4 ile bölümünden 3 kalanını veren en küçük doğal sayı:

b = 15 + 4 = 19

Adım 3 — a + b Toplamının Hesaplanması:
Bulunan en küçük değerler toplanır:

a + b = 15 + 19 = 34

:white_check_mark: CEVAP: C) 34 (a+b = 34)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: 4 ile bölümünden 3 kalanını veren her sayı 4n+3 = 2(2n+1)+1 formunda olduğundan daima tektir. Bu sayede II nolu satır için ayrıca ek bir tek sayı filtresi uygulamaya gerek kalmadan ardışık ilk 4k+3 terimi doğrudan en küçük b değerini verir.